Czas trwania Macaulay a czas trwania zmodyfikowanego

Czas trwania Macaulaya i zmodyfikowany czas trwania są używane głównie do obliczania czasu trwania wiązań. Czas trwania Makaulay oblicza średni ważony czas, zanim posiadacz obligacji otrzyma przepływy pieniężne z obligacji. Natomiast zmodyfikowany czas trwania mierzy wrażliwość ceny obligacji, gdy dochodzi do zmiany rentowności do terminu zapadalności.

Czas trwania Macaulay

Czas trwania Macaulay oblicza się, mnożąc okres przez okresową płatność kuponu i dzieląc uzyskaną wartość przez 1 powiększoną o okresową rentowność podniesioną do terminu zapadalności. Następnie wartość jest obliczana dla każdego okresu i sumowana. Następnie wartość wynikowa jest dodawana do całkowitej liczby okresów pomnożonej przez wartość nominalną podzieloną przez 1, plus okresowa wydajność podniesiona do całkowitej liczby okresów. Następnie wartość jest dzielona przez bieżącą cenę obligacji.

Macaulay Duration = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Gdzie obecna cena obligacji: C = okresowa płatność kuponu = okresowa rentowność M = wartość terminu zapadalności obligacji = czas trwania obligacji w okresy \ początek {wyrównany} i \ text {Czas trwania Macaulay} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Aktualna cena obligacji}} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & C = \ text {okresowa płatność kuponu} \\ & y = \ text {okresowa rentowność} \\ & M = \ text {wartość wykupu obligacji} \\ & n = \ text {czas trwania obligacji w okresach} \\ \ end {wyrównany} Macaulay Duration = bieżąca cena obligacji (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) gdzie: C = okresowa wypłata kuponu = okresowa rentowność M = wartość zapadalności obligacji = czas trwania obligacji w okresach

Cena obligacji jest obliczana poprzez pomnożenie przepływu środków pieniężnych przez 1, minus 1, podzielone przez 1, plus dochód do terminu zapadalności, podniesiony do liczby okresów podzielonych przez wymagany zysk. Wynikowa wartość dodawana jest do wartości nominalnej obligacji podzielonej przez 1, powiększonej o dochód do terminu wymagalności podniesiony do całkowitej liczby okresów.

Załóżmy na przykład, że okres Macaulaya dla pięcioletniej obligacji o wartości wykupu wynoszącej 5000 USD i stopie kuponowej wynoszącej 6% wynosi 4, 87 lat ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1) + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

Zmodyfikowany czas trwania tej obligacji, z rentownością do 6% w jednym okresie kuponowym, wynosi 4, 59 lat (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Dlatego jeśli rentowność do terminu wymagalności wzrośnie z 6% do 7%, czas trwania obligacji zmniejszy się o 0, 28 roku (4, 87 - 4, 59).

Wzór na obliczenie procentowej zmiany ceny obligacji to zmiana rentowności pomnożona przez ujemną wartość zmodyfikowanego czasu trwania pomnożona przez 100%. Wynikającą z tego procentową zmianę w obligacji, dla 1% wzrostu rentowności, oblicza się na -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).

Zmodyfikowany czas trwania

Zmodyfikowany czas trwania = czas trwania Macauleya (1 + YTMn) gdzie: YTM = wydajność do dojrzałości \ początek {wyrównany} i \ text {Zmodyfikowany czas trwania} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & YTM = \ text {wydajność do dojrzałości} \\ & n = \ text {liczba okresów kuponowych w ciągu roku} \ end {wyrównany} Zmodyfikowany Czas trwania = (1 + nYTM) Macauley Czas trwania, w którym: YTM = wydajność do dojrzałości

Zmodyfikowany czas trwania jest skorygowaną wersją czasu trwania Macaulay, która odpowiada za zmianę plonu do terminów zapadalności. Wzór na zmodyfikowany czas trwania jest wartością czasu trwania Macaulay podzieloną przez 1 plus dochód do terminu zapadalności podzieloną przez liczbę okresów kuponowych w ciągu roku. Zmodyfikowany czas trwania określa zmiany czasu trwania i ceny obligacji dla każdej zmiany procentowej rentowności do terminu wymagalności.

Załóżmy na przykład, że sześcioletnia obligacja ma wartość nominalną 1000 USD i roczną stopę kuponu wynoszącą 8%. Czas trwania Macaulay oblicza się na 4, 99 lat ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

Zmodyfikowany czas trwania tej obligacji, z rentownością do 8% w jednym okresie kuponowym, wynosi 4, 62 lata (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Dlatego jeśli rentowność do terminu wymagalności wzrośnie z 8% do 9%, czas trwania obligacji zmniejszy się o 0, 37 roku (4, 99 - 4, 62).

Wzór na obliczenie procentowej zmiany ceny obligacji to zmiana rentowności pomnożona przez ujemną wartość zmodyfikowanego czasu trwania pomnożona przez 100%. Wynikającą z tego zmianę procentową obligacji, dla podwyżki stopy procentowej z 8% do 9%, oblicza się na -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Dlatego jeśli stopy procentowe wzrosną o 1% w ciągu nocy, oczekuje się, że cena obligacji spadnie o 4, 62%.

Zmodyfikowane swapy czasu trwania i stóp procentowych

Zmodyfikowany czas trwania można przedłużyć, aby obliczyć liczbę lat, jakie zajęłaby zamiana stóp procentowych w celu spłaty ceny zapłaconej za zamianę. Zamiana stóp procentowych polega na wymianie jednego zestawu przepływów pieniężnych na inny i jest oparta na specyfikacjach stóp procentowych między stronami.

Zmodyfikowany czas trwania oblicza się, dzieląc wartość dolara zmiany o jedną punkt bazowy odcinka swapu stopy procentowej lub serii przepływów pieniężnych, przez wartość bieżącą szeregu przepływów pieniężnych. Wartość jest następnie mnożona przez 10 000. Zmodyfikowany czas trwania każdej serii przepływów pieniężnych można również obliczyć, dzieląc wartość w dolarach zmiany wartości bazowej serii przepływów pieniężnych przez wartość nominalną powiększoną o wartość rynkową. Ułamek jest następnie mnożony przez 10 000.

Zmodyfikowany czas trwania obu etapów należy obliczyć, aby obliczyć zmodyfikowany czas trwania zamiany stóp procentowych. Różnica między dwoma zmodyfikowanymi czasami trwania jest zmodyfikowanym czasem trwania zamiany stóp procentowych. Wzór na zmodyfikowany czas trwania zamiany stóp procentowych to zmodyfikowany czas trwania odcinka otrzymującego minus zmodyfikowany czas trwania odcinka płacącego.

Załóżmy na przykład, że bank A i bank B zawierają swap stóp procentowych. Zmodyfikowany czas trwania odcinka przyjmującego swap oblicza się na dziewięć lat, a zmodyfikowany czas trwania odcinka płacącego oblicza się na pięć lat. Wynikający z tego zmodyfikowany czas trwania zamiany stóp procentowych wynosi cztery lata (9 lat - 5 lat).

Porównanie czasu trwania Macaulaya i czasu trwania zmodyfikowanego

Ponieważ czas trwania Makaulay mierzy średni ważony czas, w którym inwestor musi utrzymywać obligację, dopóki bieżąca wartość przepływów pieniężnych z obligacji nie będzie równa kwocie zapłaconej za obligację, jest on często wykorzystywany przez zarządzających obligacjami, którzy chcą zarządzać ryzykiem portfela obligacji za pomocą strategii immunizacji .

Natomiast zmodyfikowany czas trwania określa, jak bardzo czas trwania zmienia się dla każdej procentowej zmiany rentowności, jednocześnie mierząc, w jakim stopniu zmiana stóp procentowych wpływa na cenę obligacji. Tak więc zmodyfikowany czas trwania może stanowić miarę ryzyka dla inwestorów w obligacje poprzez przybliżenie, o ile cena obligacji mogłaby spaść wraz ze wzrostem stóp procentowych. Należy zauważyć, że ceny obligacji i stopy procentowe są ze sobą odwrotne.