Obliczanie obecnej i przyszłej wartości rent

W pewnym momencie swojego życia być może musiałeś dokonać szeregu stałych płatności przez pewien okres czasu - takich jak opłaty za czynsz lub samochód - lub otrzymać szereg płatności przez pewien okres czasu, takich jak odsetki od obligacji lub Płyty CD. Są to tak zwane renty (bardziej ogólne użycie tego słowa - nie należy mylić go z konkretnym produktem finansowym zwanym rentą, chociaż oba są ze sobą powiązane). Jeśli rozumiesz wartość pieniądza w czasie, jesteś gotowy, aby dowiedzieć się o rentach i jak obliczane są ich obecne i przyszłe wartości.

Jakie są renty?

Renty są zasadniczo serią stałych płatności wymaganych od ciebie lub wypłacanych tobie, z określoną częstotliwością w określonym czasie. Częstotliwości płatności mogą być roczne, półroczne (dwa razy w roku), kwartalne i miesięczne. Istnieją dwa podstawowe rodzaje rent: zwykłe i należne.

• Zwykła renta: płatności są wymagane na koniec każdego okresu. Na przykład obligacje proste zwykle dokonują płatności kuponowych na koniec każdego półrocza do terminu wykupu obligacji.
• Termin do zapłaty: Płatności są wymagane na początku każdego okresu. Czynsz jest przykładem należnej renty. Zwykle musisz płacić czynsz, gdy wprowadzasz się na początku miesiąca, a następnie pierwszego dnia każdego następnego miesiąca.

Ponieważ obecne i przyszłe obliczenia wartości zwykłych rent i emerytur są nieco inne, omówimy je osobno.

Zwykłe renty

Obliczanie przyszłej wartości

Jeśli wiesz, ile możesz zainwestować w danym okresie przez określony czas, przyszła wartość (FV) zwykłej formuły renty jest przydatna do ustalenia, ile byś miał w przyszłości. W przypadku dokonywania płatności pożyczki przyszła wartość jest przydatna przy określaniu całkowitego kosztu pożyczki. Jeśli wiesz, ile planujesz zainwestować każdego roku i stałą stopę zwrotu, gwarancje renty rocznej - lub, w przypadku pożyczek, kwotę płatności i daną stopę procentową - możesz łatwo określić wartość swojego konta w dowolnym momencie przyszłość.

Przejdźmy teraz do przykładu 1. Rozważmy następujący harmonogram przepływów pieniężnych dożywotnich:

Aby obliczyć przyszłą wartość renty, musimy obliczyć przyszłą wartość każdego przepływu pieniężnego. Załóżmy, że otrzymujesz 1000 USD rocznie przez następne pięć lat i inwestujesz każdą płatność przy 5% oprocentowaniu. Poniższy diagram pokazuje, ile byś miał na koniec pięcioletniego okresu:

Ponieważ musimy dodać przyszłą wartość każdej płatności, być może zauważyłeś, że jeśli masz zwykłą rentę z wieloma przepływami pieniężnymi, obliczenie wszystkich przyszłych wartości, a następnie ich dodanie, zajęłoby dużo czasu. Na szczęście matematyka zapewnia formułę, która służy jako skrót do znalezienia skumulowanej wartości wszystkich przepływów pieniężnych otrzymanych ze zwykłej renty:

FVO Zwyczajna renta roczna = C × [(1 + i) n − 1i] gdzie: C = Przepływ środków pieniężnych na okres = odsetki odsetkowe = Liczba płatności \ rozpocznij {wyrównano} i \ text {FV} _ {\ text {Zwykły ~ renta roczna }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {C} = \ text {Przepływy pieniężne na okres} \\ & i = \ text {Oprocentowanie} \\ & n = \ text {Liczba płatności} \\ \ end {wyrównane} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n-1] gdzie: C = Przepływy pieniężne na okres = odsetki = liczba płatności

Korzystając z powyższej formuły dla przykładu 1 powyżej, jest to wynik:

FVOrdinary Annuity = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10.05] = 1000 $ [5, 53] \ begin {aligned} \ text {FV} _ {\ text {Zwykły ~ renta}} i = \ 1000 $ \ razy \ pozostało [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \\ & = \ 1000 $ \ times [5.53] \\ & = \ 5525.63 \ end {wyrównany} FVOrdinary Annuity = 1000 $ × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = 1000 $ × [5, 53]

Obliczanie wartości bieżącej

Należy zauważyć, że różnica jednego centa między 5.525, 64 $ a 5.552.63 $ wynika z błędu zaokrąglenia w pierwszym obliczeniu. Każdą wartość pierwszego obliczenia należy zaokrąglić do najbliższego centa - im więcej trzeba zaokrąglać liczby w obliczeniu, tym bardziej prawdopodobne są błędy zaokrąglania. Tak więc powyższa formuła zapewnia nie tylko skrót do znalezienia wartości FV zwykłej renty, ale także daje dokładniejszy wynik.

Obecna wartość renty jest po prostu bieżącą wartością wszystkich dochodów generowanych przez tę inwestycję w przyszłości. Obliczenia te opierają się na koncepcji wartości pieniądza w czasie, która stwierdza, że ​​dolar jest teraz wart więcej niż dolar zarobiony w przyszłości. Z tego powodu w obliczeniach wartości bieżącej wykorzystuje się liczbę okresów, w których generowany jest dochód, w celu zdyskontowania wartości przyszłych płatności.

Jeśli chcesz ustalić dzisiejszą wartość przyszłej serii płatności, musisz użyć wzoru, który oblicza bieżącą wartość (PV) zwykłej renty. Jest to wzór, którego użyłbyś jako część kalkulacji ceny obligacji. Wartość PV zwykłej renty oblicza bieżącą wartość płatności kuponowych, które otrzymasz w przyszłości.

W przykładzie 2 zastosujemy ten sam harmonogram przepływów pieniężnych dożywotnich jak w przykładzie 1. Aby uzyskać całkowitą wartość zdyskontowaną, musimy wziąć bieżącą wartość każdej przyszłej płatności i, tak jak w przykładzie 1, dodać przepływy pieniężne razem.

Ponownie obliczenie i dodanie wszystkich tych wartości zajmie dużo czasu, zwłaszcza jeśli spodziewamy się wielu przyszłych płatności. Chociaż wiele kalkulatorów online może określić bieżącą wartość renty, formuła renty regularnej nie jest zbyt skomplikowana do obliczenia ręcznego, jeśli użyjemy skrótu matematycznego do PV zwykłej renty.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Zwykły ~ Renta}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

Ta formuła zapewnia nam PV w kilku łatwych krokach. Oto obliczenie renty rocznej przedstawionej na schemacie dla przykładu 2:

PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [1– (1 + 0, 05) −50, 05] = 1000 $ [4, 33] \ begin {wyrównany} \ text {PV} _ {\ text {Zwykły ~ renta}} i = \ 1000 $ \ razy \ Big [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ 1000 $ \ razy [4, 33] \\ & = \ 4329, 48 \ end {wyrównany} PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = 1000 $ [4, 33]

Obliczanie przyszłej wartości

Kiedy otrzymujesz lub płacisz przepływy pieniężne za należną dożywotnią rentę, twój harmonogram przepływów pieniężnych wyglądałby następująco:

Ponieważ każda płatność w serii jest wykonywana o jeden okres wcześniej, musimy zdyskontować formułę o jeden okres wstecz. Niewielka modyfikacja formuły wartości bieżącej zwykłej renty rocznej uwzględnia płatności występujące na początku każdego okresu. W przykładzie 3 zilustrujmy, dlaczego taka modyfikacja jest potrzebna, gdy każda płatność w wysokości 1000 USD jest dokonywana na początku okresu, a nie na końcu (stopa procentowa wynosi nadal 5%):

Zauważ, że kiedy płatności są dokonywane na początku okresu, każda kwota jest utrzymywana dłużej na koniec okresu. Na przykład, jeśli 1000 USD zainwestowano 1 stycznia zamiast 31 grudnia każdego roku, ostatnia płatność, zanim wycenimy naszą inwestycję na koniec pięciu lat (31 grudnia), zostałaby dokonana rok wcześniej (1 stycznia), a nie tego samego dnia, w którym jest wyceniany. Przyszła wartość formuły renty brzmiałaby wtedy:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Renta roczna}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

W związku z tym,

FVAnnuity Due = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begin {wyrównany} FV _ {\ text {Renta roczna}} i = \ 1000 $ \ razy \ pozostało [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ 1000 $ \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ 5801, 91 $ end { wyrównane} FVA Termin do zapłaty = 1000 USD × [0, 05 (1 + 0, 05) 5–1] × (1 + 0, 05) = 1000 × 5, 53 × 1, 05

Renta dożywotnia

Obliczanie wartości bieżącej

W przypadku wartości bieżącej formuły wymagającej renty rocznej musimy zdyskontować formułę o jeden okres do przodu, ponieważ płatności są utrzymywane przez krótszy okres. Przy obliczaniu wartości bieżącej zakładamy, że pierwsza płatność została dokonana dzisiaj.

Możemy użyć tej formuły do ​​obliczenia bieżącej wartości przyszłych opłat czynszowych określonych w umowie najmu podpisanej z wynajmującym. Załóżmy, że dokonujesz pierwszej płatności czynszu (patrz przykład 4 poniżej) na początku miesiąca i oceniasz bieżącą wartość pięciomiesięcznego najmu tego samego dnia. Twoje obliczanie wartości bieżącej działałoby w następujący sposób:

Oczywiście możemy użyć skrótu do formuły, aby obliczyć bieżącą wartość należnej renty:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) -ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Renta roczna}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

W związku z tym,

PV Termin płatności = 1000 $ × [(1 (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ początek {wyrównany} PV _ {\ text {Renta roczna}} i = \ 1000 $ \ razy \ left [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ 1000 $ \ times4, 33 \ times1, 05 \\ & = \ 455, 95 $ \ end {wyrównany} PV Termin wymagalności = 1000 $ × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 $ 4, 33 × 1, 05 $

Przypomnijmy, że bieżąca wartość zwykłej renty zwróciła wartość 4 329, 48 USD. Wartość bieżąca zwykłej renty jest niższa niż renty należnej, ponieważ im bardziej wstecz dyskontujemy przyszłą płatność, tym niższa jest jej wartość bieżąca - każda płatność lub przepływ środków pieniężnych w zwykłej rentie występuje o jeden okres w przyszłości.

Wartość pieniądza w czasie

Obliczanie przyszłej wartości opiera się na koncepcji wartości pieniądza w czasie. Oznacza to po prostu, że dolar zarobiony dzisiaj jest wart więcej niż dolar zarobiony jutro, ponieważ fundusze, które kontrolujesz teraz, mogą być inwestowane i z czasem stają się odsetkami. Dlatego przyszła wartość renty jest większa niż suma wszystkich twoich inwestycji, ponieważ wkłady te z czasem zyskiwały odsetki. Na przykład przyszła wartość 1000 USD zainwestowana dziś w odsetki 10% to 1100 USD za rok. Jeden dolar dzisiaj jest wart 1, 10 USD rocznie ze względu na wartość pieniądza w czasie.

Załóżmy, że dokonujesz rocznych płatności w wysokości 5000 USD na zwykłą rentę przez 15 lat. Zarabia 9% odsetek, składanych rocznie.

FV = 5000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) -1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2, 642 ÷ 0, 09 \ początek {wyrównany} FV & = \ 5000 $ \ razy \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ 5000 $ \ razy \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5000 $ \ razy 2, 642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5000 5000 \ razy \ 146 804, 58 \ end {wyrównane} FV = 5000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) -1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2, 642 ÷ 0, 09

Bez potęgi zainteresowania, Twoja seria 5000 $ wkładów jest warta 75 000 $ na koniec 15 lat. Zamiast tego, ze składanymi odsetkami, przyszła wartość twojej renty jest prawie dwukrotnie wyższa niż 146 804, 58 USD.

Aby obliczyć przyszłą wartość należnej renty, wystarczy pomnożyć zwykłą przyszłą wartość przez 1+ i (stopa procentowa). W powyższym przykładzie przyszła wartość renty o tych samych parametrach wynosi po prostu 146 804, 58 USD x (1 + 0, 09) lub 160 016, 99 USD.

Rozważania dotyczące wartości bieżącej

Przy obliczaniu bieżącej wartości renty ważne jest, aby wszystkie zmienne były spójne. Jeśli na przykład renta generuje roczne płatności, stopa procentowa musi być również wyrażona jako stopa roczna. Jeśli na przykład renta generuje miesięczne płatności, stopa procentowa musi być również wyrażona jako stopa miesięczna.

Załóżmy, że dożywotnia stopa procentowa wynosi 10%, która generuje roczne płatności w wysokości 3000 USD przez następne 15 lat. Obecna wartość tej renty wynosi:

= 3000 $ × ((((1- (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 $ × ((1 −239392) ÷ 0, 1) = 3000 $ × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3000 $ × 7, 60608 \ początek {wyrównany } & = \ 3000 $ \ razy ((((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 $ \ razy ((1 - .239392) \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 $ \ razy (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 3000 \ razy 7, 60608 \\ & = \ 22, 818 \ end {wyrównany} = 3000 $ × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 $ × ((1 −239392) ÷ 0, 1) = 3000 $ × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3000 $ × 7, 60608

Wartość bieżąca renty

Dolna linia

Teraz możesz zobaczyć, jak renty wpływają na sposób obliczania obecnej i przyszłej wartości dowolnej kwoty pieniędzy. Pamiętaj, że częstotliwości płatności lub liczba płatności oraz czas, w którym te płatności są dokonywane (na początku lub na końcu każdego okresu płatności) to wszystkie zmienne, które musisz uwzględnić w swoich obliczeniach.

Planując przejście na emeryturę, ważne jest, aby dobrze wiedzieć, na jaki dochód możesz liczyć każdego roku. Chociaż może być stosunkowo łatwo śledzić, ile wkładasz w plany emerytalne sponsorowane przez pracodawców, indywidualne konta emerytalne (IRA) i renty, nie zawsze jest tak łatwo wiedzieć, ile wydasz. Na szczęście, jeśli chodzi o renty o stałym oprocentowaniu lub plany inwestowane w papiery wartościowe o stałym oprocentowaniu, istnieje prosty sposób obliczenia, ile pieniędzy możesz oczekiwać po przejściu na emeryturę, na podstawie tego, ile wpłacisz na konto w latach pracy .