Korzystanie ze wspólnych metod rozkładu prawdopodobieństwa zapasów

Niemal niezależnie od twojego zdania na temat przewidywalności lub efektywności rynków, prawdopodobnie zgodzisz się, że w przypadku większości aktywów gwarantowane zwroty są niepewne lub ryzykowne. Jeśli zignorujemy matematykę leżącą u podstaw rozkładów prawdopodobieństwa, możemy zobaczyć, że są to zdjęcia opisujące konkretny obraz niepewności. Rozkład prawdopodobieństwa jest obliczeniem statystycznym, które opisuje prawdopodobieństwo, że dana zmienna znajdzie się między określonym zakresem wykresu lub w tym zakresie.

Niepewność odnosi się do losowości. Różni się od braku przewidywalności lub nieefektywności rynku. Wyłaniający się pogląd na badania utrzymuje, że rynki finansowe są zarówno niepewne, jak i przewidywalne. Również rynki mogą być wydajne, ale także niepewne.

W finansach używamy rozkładów prawdopodobieństwa, aby rysować obrazki, które ilustrują nasz pogląd na wrażliwość zwrotu z aktywów, gdy uważamy, że zwrot z aktywów można uznać za zmienną losową. W tym artykule omówimy kilka najpopularniejszych rozkładów prawdopodobieństwa i pokażemy, jak je obliczyć.

Rozkłady można podzielić na dyskretne lub ciągłe i według tego, czy jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF), czy rozkład skumulowany.

Rozkłady dyskretne a ciągłe

Dyskretny odnosi się do zmiennej losowej pochodzącej ze skończonego zestawu możliwych wyników. Na przykład sześciościenna kostka ma sześć dyskretnych wyników. Rozkład ciągły odnosi się do zmiennej losowej pochodzącej z zestawu nieskończonego. Przykłady ciągłych zmiennych losowych obejmują prędkość, odległość i niektóre zwroty aktywów. Dyskretna zmienna losowa jest zwykle zilustrowana kropkami lub myślnikami, natomiast zmienna ciągła jest przedstawiona linią ciągłą. Rysunek 1 pokazuje rozkłady dyskretne i ciągłe dla rozkładu normalnego ze średnią (wartością oczekiwaną) 50 i odchyleniem standardowym 10:

Rycina 1

Rozkład jest próbą wykreślenia niepewności. W takim przypadku wynik 50 jest najbardziej prawdopodobny, ale zdarzy się tylko w około 4% przypadków; wynik 40 jest jednym odchyleniem standardowym poniżej średniej i wystąpi nieco poniżej 2, 5% czasu.

Gęstość prawdopodobieństwa a rozkład skumulowany

Drugim rozróżnieniem jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) i funkcja rozkładu skumulowanego. PDF jest prawdopodobieństwem, że nasza zmienna losowa osiągnie określoną wartość (lub, w przypadku zmiennej ciągłej, wpadnięcia między przedziałami). Pokazujemy, że poprzez wskazanie prawdopodobieństwa, że ​​zmienna losowa X będzie równa rzeczywistej wartości x:

P [x = X] \ początek {wyrównany} i P [x = X] \\ \ end {wyrównany} P [x = X]

Rozkład skumulowany to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X będzie mniejsza lub równa wartości rzeczywistej x:

P [x <= X] \ początek {wyrównany} i P [x <= X] \\ \ end {wyrównany} P [x <= X]

lub na przykład, jeśli twój wzrost jest zmienną losową o oczekiwanej wartości 5'10 cali (średnia wysokość twoich rodziców), pytanie PDF brzmi: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że osiągniesz wysokość 5'4” ” >

Rycina 1 pokazuje dwa rozkłady normalne. Teraz możesz zobaczyć, że są to wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF). Jeśli ponownie wykreślimy dokładnie taki sam rozkład, jak rozkład skumulowany, otrzymamy:

Rysunek 2

Rozkład skumulowany musi ostatecznie osiągnąć 1, 0 lub 100% na osi y. Jeśli podnosimy poprzeczkę wystarczająco wysoko, to w pewnym momencie praktycznie wszystkie wyniki mieszczą się poniżej tego paska (można powiedzieć, że rozkład jest zazwyczaj asymptotyczny do 1, 0).

Finanse, nauki społeczne, nie są tak czyste jak nauki fizyczne. Na przykład grawitacja ma elegancką formułę, od której możemy zawsze polegać. Z drugiej strony, zwroty aktywów finansowych nie mogą być powtarzane w sposób spójny. Ogromna ilość pieniędzy została utracona przez lata przez mądrych ludzi, którzy pomylili dokładne rozkłady (tj. Jakby pochodziły z nauk fizycznych) z niechlujnymi, niewiarygodnymi przybliżeniami, które próbują przedstawić zwroty finansowe. W finansach rozkłady prawdopodobieństwa są niewiele więcej niż prymitywne reprezentacje obrazkowe.

Jednolity rozkład

Najprostszym i najpopularniejszym rozkładem jest rozkład jednolity, w którym wszystkie wyniki mają równe szanse wystąpienia. Sześciokątna matryca ma równomierny rozkład. Prawdopodobieństwo każdego wyniku wynosi około 16, 67% (1/6). Nasz wykres poniżej pokazuje linię ciągłą (abyś mógł ją lepiej zobaczyć), ale pamiętaj, że jest to dyskretny rozkład - nie możesz rzucić 2.5 lub 2.11:

Rycina 3

Teraz rzuć dwiema kostkami razem, jak pokazano na rysunku 4, a rozkład nie będzie już jednolity. Szczyt osiąga siódmą, co ma szansę 16, 67%. W takim przypadku wszystkie inne wyniki są mniej prawdopodobne:

Rycina 4

Teraz rzuć razem trzema kostkami, jak pokazano na rysunku 5. Zaczynamy widzieć efekty najbardziej niesamowitego twierdzenia: twierdzenia o środkowej granicy. Centralne twierdzenie graniczne śmiało obiecuje, że suma lub średnia szeregu zmiennych niezależnych będzie miała tendencję do normalnego rozkładu, niezależnie od ich własnego rozkładu . Nasze kości są indywidualnie jednolite, ale łączą je i - gdy dodajemy więcej kości - prawie magicznie ich suma zmierza do znanego normalnego rozkładu.

Rycina 5

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy odzwierciedla serię „albo / lub” prób, takich jak seria rzutów monetą. Są to tak zwane próby Bernoulliego - które odnoszą się do wydarzeń, które mają tylko dwa wyniki - ale nie potrzebujesz nawet kursów (50/50). Rozkład dwumianowy poniżej przedstawia serię 10 rzutów monetą, w których prawdopodobieństwo głów wynosi 50% (p-0, 5). Na ryc. 6 widać, że szansa na przewrócenie dokładnie pięciu głów i pięciu ogonów (kolejność nie ma znaczenia) wynosi zaledwie 25%:

Rycina 6

Jeśli rozkład dwumianowy wygląda dla ciebie normalnie, masz rację. Wraz ze wzrostem liczby prób dwumianowy zmierza w kierunku rozkładu normalnego.

Lognormal Distribution

Rozkład logarytmiczny jest bardzo ważny w finansach, ponieważ w wielu najpopularniejszych modelach zakłada się, że ceny akcji są rozkładane logarytmicznie. Łatwo jest pomylić zwroty z aktywów z poziomami cen.

Zwroty aktywów są często traktowane jak normalne - zapasy mogą wzrosnąć o 10% lub o 10%. Poziomy cen są często traktowane jako logarytmiczne - akcje za 10 USD mogą wzrosnąć do 30 USD, ale nie mogą spaść do - 10 USD. Logarytmiczny rozkład jest niezerowy i jest przekrzywiony w prawo (znowu zapasy nie mogą spaść poniżej zera, ale nie mają teoretycznego limitu wzrostu):

Rycina 7

Poisson

Rozkład Poissona służy do opisania prawdopodobieństwa wystąpienia określonego zdarzenia (np. Dziennej utraty portfela poniżej 5%) w określonym przedziale czasu. Tak więc w poniższym przykładzie zakładamy, że w pewnym procesie operacyjnym poziom błędu wynosi 3%. Ponadto zakładamy 100 losowych prób; rozkład Poissona opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby błędów w pewnym okresie czasu, na przykład jednego dnia.

Cyfra 8

T. ucznia

Rozkład T studenta jest również bardzo popularny, ponieważ ma nieco „grubszy ogon” niż rozkład normalny. T studenta jest zwykle używany, gdy nasza próbka jest mała (tj. Mniejsza niż 30). W finansach lewy ogon reprezentuje straty. Dlatego jeśli próbka jest niewielka, nie możemy nie docenić szans na dużą stratę. Grubszy ogon na T studenta pomoże nam tutaj. Mimo to zdarza się, że gruby ogon tej dystrybucji często nie jest wystarczająco gruby. Zwroty finansowe zwykle przy rzadkich katastrofalnych okazjach powodują naprawdę ogromne straty (tj. Grubsze niż przewidywane na podstawie rozkładów). Z tego powodu stracono duże sumy pieniędzy.

Rycina 9

Dystrybucja beta

Wreszcie, rozkład beta (nie mylić z parametrem beta w modelu wyceny aktywów kapitałowych) jest popularny w modelach, które szacują stopy odzysku portfeli obligacji. Dystrybucja beta jest narzędziem użyteczności dystrybucji. Podobnie jak normalnie, potrzebuje tylko dwóch parametrów (alfa i beta), ale można je łączyć, aby uzyskać niezwykłą elastyczność. Cztery możliwe rozkłady beta pokazano na rysunku 10 poniżej:

Rycina 10

Dolna linia

Podobnie jak wiele butów w naszej statystycznej szafce na buty, staramy się wybrać najlepsze dopasowanie na tę okazję, ale tak naprawdę nie wiemy, co dla nas czeka pogoda. Możemy wybrać rozkład normalny, a następnie odkryć, że nie doceniono strat po lewej stronie ogona; przełączamy się więc na rozkład przekrzywiony, ale okazało się, że w następnym okresie dane wyglądają bardziej „normalnie”. Elegancka matematyka pod spodem może cię uwieść, że te rozkłady ujawniają głębszą prawdę, ale bardziej prawdopodobne jest, że są to jedynie ludzkie artefakty. Na przykład wszystkie przeanalizowane przez nas dystrybucje są dość płynne, ale niektóre zwroty aktywów skaczą nieregularnie.

Rozkład normalny jest wszechobecny i elegancki i wymaga tylko dwóch parametrów (średniej i rozkładu). Wiele innych rozkładów zbliża się do normalnego (np. Dwumianowy i Poissona). Jednak wiele sytuacji, takich jak zwroty funduszy hedgingowych, portfele kredytowe i poważne straty, nie zasługują na normalne wypłaty.