Podział modelu dwumianowego w celu wyceny opcji

W świecie finansowym modele Black-Scholesa i dwumianowe modele wyceny opcji są dwoma najważniejszymi pojęciami współczesnej teorii finansów. Oba są używane do oceny opcji, a każda z nich ma swoje zalety i wady.

Oto niektóre z podstawowych zalet korzystania z modelu dwumianowego:

• widok wielu okresów
• przezroczystość
• umiejętność uwzględnienia prawdopodobieństw

W tym artykule zbadamy zalety korzystania z modelu dwumianowego zamiast modelu Blacka-Scholesa i przedstawimy kilka podstawowych kroków w celu opracowania modelu i wyjaśnienia, w jaki sposób jest on używany.

Widok wielu okresów

Model dwumianowy zapewnia wieloletni obraz ceny bazowej aktywów, a także ceny opcji. W przeciwieństwie do modelu Blacka-Scholesa, który zapewnia wynik liczbowy na podstawie danych wejściowych, model dwumianowy pozwala na obliczenie zasobu i opcji dla wielu okresów wraz z zakresem możliwych wyników dla każdego okresu (patrz poniżej).

Zaletą tego widoku wielu okresów jest to, że użytkownik może wizualizować zmianę ceny aktywów z okresu na okres i oceniać opcje na podstawie decyzji podejmowanych w różnych momentach. W przypadku opcji amerykańskiej, którą można zrealizować w dowolnym momencie przed datą wygaśnięcia, model dwumianowy może zapewnić wgląd w to, kiedy realizacja opcji może być wskazana i kiedy powinna być utrzymywana przez dłuższy okres. Patrząc na dwumianowe drzewo wartości, przedsiębiorca może z wyprzedzeniem ustalić, kiedy może wystąpić decyzja o ćwiczeniu. Jeśli opcja ma wartość dodatnią, istnieje możliwość wykonania, natomiast jeśli opcja ma wartość mniejszą od zera, należy ją utrzymywać przez dłuższy czas.

Przezroczystość

Ściśle związana z przeglądem wielu okresów jest zdolność modelu dwumianowego do zapewniania przejrzystości wartości bazowej zasobu i opcji w miarę upływu czasu. Model Black-Scholesa ma pięć wejść:

1. Stopa wolna od ryzyka
2. Cena wykonania
3. Aktualna cena zasobu
4. Czas do dojrzałości
5. Implikowana zmienność ceny aktywów

Gdy te punkty danych są wprowadzane do modelu Blacka-Scholesa, model oblicza wartość opcji, ale wpływ tych czynników nie jest ujawniany okresowo. W modelu dwumianowym inwestor widzi zmianę ceny aktywów bazowych z okresu na okres i odpowiednią zmianę ceny opcji.

Włączanie prawdopodobieństw

Podstawową metodą obliczania dwumianowego modelu opcji jest stosowanie tego samego prawdopodobieństwa dla każdego okresu sukcesu i porażki do momentu wygaśnięcia opcji. Jednak inwestor może uwzględnić różne prawdopodobieństwa dla każdego okresu w oparciu o nowe informacje uzyskane w miarę upływu czasu.

Na przykład może istnieć 50/50 szansa, że ​​cena aktywów bazowych może wzrosnąć lub spaść o 30 procent w jednym okresie. Jednak w drugim okresie prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywów bazowych może wzrosnąć do 70/30. Na przykład, jeśli inwestor ocenia szyb naftowy, inwestor nie jest pewien, jaka jest wartość tego szybu naftowego, ale istnieje szansa 50/50, że cena wzrośnie. Jeśli ceny ropy wzrosną w okresie 1, dzięki czemu ropa naftowa będzie znacznie cenniejsza, a fundamenty rynku wskazują teraz na dalszy wzrost cen ropy, prawdopodobieństwo dalszego wzrostu cen może wynosić 70 procent. Model dwumianowy pozwala na tę elastyczność; model Blacka-Scholesa nie.

Opracowywanie modelu

Najprostszy model dwumianowy będzie miał dwa oczekiwane zwroty, których prawdopodobieństwa sumują się do 100 procent. W naszym przykładzie istnieją dwa możliwe wyniki dla odwiertu naftowego w każdym momencie. Bardziej złożona wersja może mieć trzy lub więcej różnych wyników, z których każdy ma prawdopodobieństwo wystąpienia.

Aby obliczyć zwroty za okres, zaczynając od czasu zero (teraz), musimy ustalić wartość aktywów bazowych za jeden okres od teraz. W tym przykładzie zakładamy, że:

• Cena aktywów bazowych (P): 500 USD
• Cena wykonania opcji kupna (K): 600 USD
• Stopa wolna od ryzyka w tym okresie: 1 procent
• Zmiana ceny w każdym okresie: 30 procent w górę lub w dół

Cena bazowego składnika aktywów wynosi 500 USD, aw okresie 1 może wynosić 650 USD lub 350 USD. Byłby to odpowiednik 30-procentowego wzrostu lub spadku w jednym okresie. Ponieważ cena wykonania posiadanych przez nas opcji kupna wynosi 600 USD, jeśli wartość aktywów bazowych będzie mniejsza niż 600 USD, wartość opcji kupna wyniesie zero. Z drugiej strony, jeśli instrument bazowy przekroczy cenę wykonania 600 USD, wartość opcji kupna byłaby różnicą między ceną instrumentu bazowego a ceną wykonania. Wzór na to obliczenie to [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] gdzie: P = cena instrumentu bazowego K = cena wykonania opcji kupna \ początek {wyrównany} i \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & P = \ text {Cena aktywów bazowych} \\ & K = \ text {Cena wykonania opcji połączenia} \\ \ end {wyrównany} max [(P − K), 0] gdzie: P = cena instrumentu bazowego K = cena wykonania opcji kupna

Załóżmy, że istnieje 50 procent szans na wzrost i 50 procent szans na spadek. Na przykładzie wartości okresu 1 oblicza się to jako

max [(650 $ 600 $), 0] ∗ 0, 5 + max [(350 $ 600 $), 0] ∗ 0, 5 = 50 $ ∗ 0, 5 + $ 0 = 25 $ \ begin {wyrównany} i \ max {\ left [\ left (\ 650 $ - \ 600 $ \ prawo), 0 \ prawo]} * 0, 5+ \ max {\ left [\ left (\ 350 $ - \ 600 $ \ right), 0 \ right]} * 0, 5 \\ & = \ 50 $ * 0, 5 + \ $ 0 = \ 25 $ \\ \ end {wyrównany} maks. [(650–600 $), 0] ∗ 0, 5 + maks. [(350–600 $), 0] ∗ 0, 5 = 50 $ ∗ 0, 5 + 0 $ = 25 USD

Aby uzyskać bieżącą wartość opcji kupna, musimy zdyskontować 25 USD w okresie 1 z powrotem do okresu 0, czyli

25 USD / (1 + 1%) = 24, 75 USD \ 25 USD / \ lewo (1 + 1 \% \ prawo) = \ 24, 75 USD 25 USD / (1 + 1%) = 24, 75 USD

Teraz możesz zobaczyć, że jeśli prawdopodobieństwa zostaną zmienione, oczekiwana wartość zasobu bazowego również się zmieni. Jeżeli prawdopodobieństwo powinno zostać zmienione, można je również zmienić dla każdego kolejnego okresu i niekoniecznie musi pozostać takie samo przez cały okres.

Model dwumianowy można łatwo rozszerzyć na wiele okresów. Chociaż model Blacka-Scholesa może obliczyć wynik przedłużonej daty ważności, model dwumianowy rozszerza punkty decyzyjne na wiele okresów.

Zastosowania dla modelu dwumianowego

Oprócz zastosowania jako metody obliczania wartości opcji, model dwumianowy może być również stosowany do projektów lub inwestycji o wysokim stopniu niepewności, decyzji dotyczących budżetowania kapitału i alokacji zasobów oraz projektów o wielu okresach lub wbudowana opcja kontynuowania lub porzucenia projektu w określonym momencie.

Jednym prostym przykładem jest projekt polegający na wierceniu ropy naftowej. Niepewność tego rodzaju projektu, czy wiercona ziemia zawiera w ogóle ropę naftową, ilość ropy, którą można wiercić, jeśli ropa zostanie znaleziona, oraz cenę, za jaką można ją sprzedać po wydobyciu.

Dwumianowy model opcji może pomóc w podejmowaniu decyzji w każdym punkcie projektu wiercenia ropy naftowej. Załóżmy na przykład, że zdecydowaliśmy się na wiercenie, ale szyb naftowy będzie opłacalny tylko wtedy, gdy znajdziemy wystarczającą ilość ropy, a cena ropy przekroczy pewną ilość. Zajmie to jeden pełny okres, aby ustalić, ile ropy możemy wydobyć, a także cenę ropy w tym momencie. Po pierwszym okresie (na przykład jeden rok) możemy na podstawie tych dwóch punktów danych zdecydować, czy kontynuować wiercenie, czy porzucić projekt. Decyzje te mogą być podejmowane w sposób ciągły, dopóki nie zostanie osiągnięty punkt, w którym wiercenie nie ma wartości, w którym to momencie studnia zostanie opuszczona.

Dolna linia

Model dwumianowy daje bardziej szczegółowy widok, umożliwiając wieloczasowe widoki ceny aktywów bazowych i ceny opcji dla wielu okresów, a także zakres możliwych wyników dla każdego okresu. Podczas gdy zarówno model Blacka-Scholesa, jak i model dwumianowy mogą być używane do wyceny opcji, model dwumianowy ma szerszy zakres zastosowań, jest bardziej intuicyjny i łatwiejszy w użyciu.