Różnica między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną

Istnieje wiele sposobów pomiaru wyników portfela finansowego i ustalenia, czy strategia inwestycyjna jest skuteczna. Aby to zrobić, profesjonaliści inwestycyjni często wykorzystują średnią geometryczną , zwaną bardziej średnią geometryczną.

Średnia geometryczna różni się od średniej arytmetycznej lub średniej arytmetycznej sposobem jej obliczania, ponieważ bierze pod uwagę składanie występujące z okresu na okres. Z tego powodu inwestorzy zwykle uważają średnią geometryczną za dokładniejszą miarę zwrotu niż średnia arytmetyczna.

Wzór na średnią arytmetyczną

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 +… + gdzie indziej: a1, a2, …, an = Zwrot portfela za okres nn = Liczba okresów \ początek {wyrównany} i A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {Portfolio wraca do okres} n \\ & n = \ text {Liczba okresów} \\ \ end {wyrównany} A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an gdzie: a1, a2, …, an = Zwraca portfel za okres nn = Liczba okresów

Średnia arytmetyczna

Jak obliczyć średnią arytmetyczną

Średnia arytmetyczna jest sumą szeregu liczb podzielonego przez liczbę tej serii liczb.

Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie średniej (arytmetycznej) wyników testu, po prostu zsumujesz wszystkie wyniki testów uczniów, a następnie podzielisz tę sumę przez liczbę uczniów. Na przykład, jeśli pięciu uczniów podejmie egzamin, a ich wyniki wyniosą 60%, 70%, 80%, 90% i 100%, średnia arytmetyczna wyniesie 80%.

Można to obliczyć jako:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ początek {wyrównany} i \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ end {wyrównany} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

Powodem, dla którego stosujemy średnią arytmetyczną do wyników testów, jest to, że każdy wynik jest niezależnym zdarzeniem. Jeśli zdarzy się, że jeden uczeń źle radzi sobie na egzaminie, nie ma to wpływu na szanse następnego ucznia na słabe (lub dobre) wyniki na egzaminie.

W świecie finansów średnia arytmetyczna zwykle nie jest odpowiednią metodą obliczania średniej. Weźmy na przykład zwrot z inwestycji. Załóżmy, że zainwestowałeś swoje oszczędności na rynkach finansowych przez pięć lat. Jeśli zwroty z Twojego portfela wyniosłyby co roku 90%, 10%, 20%, 30% i -90%, jaki byłby Twój średni zwrot w tym okresie?

Przy średniej arytmetycznej średni zwrot wyniósłby 12%, co na pierwszy rzut oka wydaje się imponujące - ale nie do końca dokładne. Jest tak, ponieważ jeśli chodzi o roczny zwrot z inwestycji, liczby nie są od siebie niezależne. Jeśli stracisz znaczną ilość pieniędzy w danym roku, masz o wiele mniej kapitału na inwestycje i generowanie zwrotów w kolejnych latach.

Musimy obliczyć średnią geometryczną zwrotów z inwestycji, aby uzyskać dokładny pomiar rzeczywistej średniej rocznej stopy zwrotu w okresie pięciu lat.

Wzór na średnią geometryczną

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2… xnnwhere: x1, x2, ⋯ = Zwroty portfela dla każdego okresun = Liczba okresów \ zacznij {wyrównano} i \ lewo (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ prawo) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ dots x_n} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Portfolio zwraca dla każdego okresu } \\ & n = \ text {Liczba okresów} \\ \ end {wyrównany} (i = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn gdzie: x1, x2, ⋯ = Zwroty portfela dla każdego okresun = Liczba okresów

Jak obliczyć średnią geometryczną

Średnia geometryczna dla szeregu liczb jest obliczana na podstawie iloczynu tych liczb i podniesienia go do odwrotności długości szeregu.

Aby to zrobić, dodajemy jeden do każdej liczby (aby uniknąć problemów z ujemnymi wartościami procentowymi). Następnie pomnóż wszystkie liczby razem i podnieś ich iloczyn do potęgi jednej podzielonej przez liczbę liczb w szeregu. Następnie odejmujemy jeden od wyniku.

Formuła zapisana dziesiętnie wygląda następująco:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n − 1 gdzie: R = Returnn = Liczba liczb w szeregu \ begin {aligned} & [( 1 + \ text {R} _1) \ times (1 + \ text {R} _2) \ times (1 + \ text {R} _3) \ dotso \ times (1 + \ text {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & \ text {R} = \ text {Return} \\ & n = \ text {Liczba liczb w szeregu} \ \ \ end {wyrównany} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] n1 −1 gdzie: R = Returnn = Liczba liczb w serii

Formuła wydaje się dość intensywna, ale na papierze nie jest tak skomplikowana. Wracając do naszego przykładu, obliczmy średnią geometryczną: nasze zwroty wyniosły 90%, 10%, 20%, 30% i -90%, więc podłączamy je do wzoru:

(1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 15-1 \ początek {wyrównany} i (1, 9 \ razy 1, 1 \ razy 1, 2 \ razy 1, 3 \ razy 0, 1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ {{wyrównany} (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 −1

Wynik daje geometryczny średni roczny zwrot w wysokości -20, 08%. Wynik wykorzystujący średnią geometryczną jest znacznie gorszy niż obliczona wcześniej średnia arytmetyczna 12%, i niestety jest to także liczba reprezentująca rzeczywistość w tym przypadku.

Kluczowe dania na wynos

• Średnia geometryczna jest najbardziej odpowiednia dla serii wykazujących korelację szeregową. Dotyczy to szczególnie portfeli inwestycyjnych.
• Większość zwrotów w finansach jest skorelowana, w tym dochody z obligacji, zwroty z akcji i premie rynkowe. Im dłuższy horyzont czasowy, tym bardziej krytyczne staje się składanie i tym bardziej właściwe jest zastosowanie średniej geometrycznej.
• W przypadku liczb niestabilnych średnia geometryczna zapewnia znacznie dokładniejszy pomiar rzeczywistego zwrotu, biorąc pod uwagę składanie z roku na rok.