Rozkład logarytmiczny i normalny

Matematyka finansowa może być nieco myląca i nużąca. Na szczęście większość programów komputerowych wykonuje skomplikowane obliczenia. Jednak zrozumienie różnych terminów i metod statystycznych, ich znaczenia oraz tego, które najlepiej analizują inwestycje, ma kluczowe znaczenie przy wyborze odpowiedniego zabezpieczenia i uzyskaniu pożądanego wpływu na portfel.

Ważną decyzją jest wybór między rozkładem normalnym a logarytmicznym, o którym często mówi się w literaturze naukowej. Przed wyborem musisz wiedzieć:

• Czym oni są
• Jakie różnice między nimi istnieją
• Jak wpływają na decyzje inwestycyjne

Normalny kontra Lognormalny

Zarówno rozkład normalny, jak i logarytmiczny są używane w matematyce statystycznej do opisania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia. Rzut monetą jest łatwym do zrozumienia przykładem prawdopodobieństwa. Jeśli rzucisz monetą 1000 razy, jaki jest rozkład wyników? To znaczy, ile razy wyląduje na głowach lub ogonach? Istnieje 50% prawdopodobieństwa, że ​​wyląduje na głowach lub ogonach. Ten podstawowy przykład opisuje prawdopodobieństwo i rozkład wyników.

Istnieje wiele rodzajów rozkładów, z których jednym jest rozkład krzywej normalnej lub krzywej dzwonowej. (Patrz rysunek 1.)

W rozkładzie normalnym 68% (34% + 34%) wyników mieści się w jednym odchyleniu standardowym, a 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) mieści się w dwóch odchyleniach standardowych. W środku (punkt 0 na powyższym obrazku) mediana (środkowa wartość w zestawie), tryb (najczęściej występująca wartość) i średnia (średnia arytmetyczna) są takie same.

Rozkład lognormalny różni się od rozkładu normalnego na kilka sposobów. Główna różnica polega na jego kształcie: rozkład normalny jest symetryczny, a rozkład logarytmiczny nie. Ponieważ wartości w rozkładzie logarytmicznym są dodatnie, tworzą krzywą o skośnym kształcie. (Patrz rys. 2)

Ta skośność jest ważna przy określaniu, który rozkład jest odpowiedni do zastosowania przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych. Kolejnym rozróżnieniem jest to, że wartości używane do uzyskania logarytmicznego rozkładu są zwykle rozkładane.

Wyjaśnijmy na przykładzie. Inwestor chce poznać oczekiwaną przyszłą cenę akcji. Ponieważ zapasy rosną w szybkim tempie, musi zastosować czynnik wzrostu. Aby obliczyć ewentualne oczekiwane ceny, weźmie aktualną cenę akcji i pomnoży ją przez różne stopy zwrotu (które są matematycznie wyliczonymi czynnikami wykładniczymi opartymi na składaniu), które zakłada się, że są normalnie rozłożone. Kiedy inwestor stale mierzy zwroty, tworzy logarytmiczny rozkład. Rozkład ten jest zawsze dodatni, nawet jeśli niektóre stopy zwrotu są ujemne, co nastąpi w 50% przypadków w rozkładzie normalnym. Przyszła cena akcji zawsze będzie dodatnia, ponieważ ceny akcji nie mogą spaść poniżej 0 USD.

Kiedy stosować rozkład normalny kontra rozkład logarytmiczny

Poprzedni przykład pomógł nam dojść do tego, co naprawdę ważne dla inwestorów: kiedy zastosować każdą metodę. Lognormal jest niezwykle przydatny podczas analizy cen akcji. Tak długo, jak zakłada się, że użyty czynnik wzrostu jest rozkładem normalnym (jak zakładamy ze stopą zwrotu), logarytmiczny rozkład ma sens. Rozkładu normalnego nie można zastosować do modelowania cen akcji, ponieważ ma on stronę ujemną, a ceny akcji nie mogą spaść poniżej zera.

Innym podobnym zastosowaniem lognormalnej dystrybucji jest wycena opcji. Model Blacka-Scholesa - stosowany do wyceny opcji - wykorzystuje rozkład logarytmiczny jako podstawę do ustalenia cen opcji.

I odwrotnie, rozkład normalny działa lepiej przy obliczaniu całkowitych zwrotów z portfela. Stosuje się rozkład normalny, ponieważ średni ważony zwrot (iloczyn wagi papieru wartościowego w portfelu i jego stopy zwrotu) dokładniej opisuje rzeczywisty zwrot z portfela (dodatni lub ujemny), szczególnie jeśli wagi różnią się o duży stopień. Oto typowy przykład:

Portfel Zasoby Wagi Zwraca Ważony zwrot

Zapas A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Zapas B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Średni ważony zwrot ogółem = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Chociaż logarytmiczny zwrot dla całkowitej wydajności portfela może być szybszy do obliczenia w dłuższym okresie, nie ujmuje on poszczególnych wag zapasów, co może ogromnie zniekształcić zwrot. Również zwroty z portfela mogą być dodatnie lub ujemne, a rozkład logarytmiczny nie uchwyci negatywnych aspektów.

Dolna linia

Chociaż niuanse, które różnicują rozkład normalny i logarytmiczny, mogą nas w większości przypadków uniknąć, wiedza o wyglądzie i charakterystyce każdej dystrybucji zapewni wgląd w sposób modelowania zwrotów z portfela i przyszłych cen akcji.