Zoptymalizuj swoje portfolio przy użyciu normalnej dystrybucji

Rozkład normalny to rozkład prawdopodobieństwa, który wykreśla wszystkie jego wartości w symetryczny sposób, a większość wyników znajduje się wokół średniej prawdopodobieństwa.

Rozkład normalny (krzywa dzwonowa)

Zestawy danych (np. Wzrost 100 ludzi, oceny uzyskane przez 45 uczniów w klasie itp.) Zwykle mają wiele wartości w tym samym punkcie danych lub w tym samym zakresie. Ten rozkład punktów danych nazywa się rozkładem krzywej normalnej lub krzywej dzwonowej.

Na przykład, w grupie 100 osobników, 10 może mieć mniej niż 5 stóp wysokości, 65 może stać między 5 a 5, 5 stóp, a 25 może być powyżej 5, 5 stóp. Ten rozkład związany z zakresem można wykreślić w następujący sposób:

Podobnie punkty danych przedstawione na wykresach dla dowolnego zestawu danych mogą przypominać różne typy rozkładów. Trzy najczęstsze to rozkłady wyrównane do lewej, wyrównane do prawej i pomieszane:

Zwróć uwagę na czerwoną linię trendu na każdym z tych wykresów. Z grubsza wskazuje to trend dystrybucji danych. Pierwszy, „LEWY wyrównany rozkład”, wskazuje, że większość punktów danych znajduje się w dolnym zakresie. Na drugim wykresie „RIGHT Alignment Distribution” większość punktów danych znajduje się w górnej części zakresu, a ostatni „Jumbled Distribution” reprezentuje mieszany zestaw danych bez wyraźnego trendu.

Istnieje wiele przypadków, w których rozmieszczenie punktów danych jest zwykle w pobliżu wartości centralnej, a ten wykres pokazuje idealny rozkład normalny - równo zrównoważony po obu stronach, przy największej liczbie punktów danych skoncentrowanych w środku.

Oto idealny, zwykle dystrybuowany zestaw danych:

Centralną wartością jest tutaj 50 (która ma największą liczbę punktów danych), a rozkład zwęża się równomiernie w kierunku skrajnych wartości końcowych 0 i 100 (które mają najmniejszą liczbę punktów danych). Rozkład normalny jest symetryczny wokół wartości środkowej z połową wartości z każdej strony.

Wiele rzeczywistych przykładów pasuje do rozkładu krzywej dzwonowej:

• Rzucaj uczciwą monetą wiele razy (powiedzmy 100 razy lub więcej), a otrzymasz zrównoważony normalny rozkład głów i reszek.
• Rzuć parę uczciwych kości wiele razy (powiedzmy 100 razy lub więcej), a wynikiem będzie zrównoważony, normalny rozkład skupiony wokół liczby 7 i równomiernie zwężający się w kierunku skrajnych wartości 2 i 12.
• Wysokość osobników w grupie o znacznej wielkości i oceny uzyskane przez osoby w klasie są zgodne z normalnymi wzorcami rozkładu.
• W finansach zmiany wartości dziennika zakłada się, że stawki forex, wskaźniki cen i ceny akcji są normalnie dystrybuowane.

Ryzyko i zwroty

Każda inwestycja ma dwa aspekty: ryzyko i zwrot. Inwestorzy szukają możliwie najniższego ryzyka w celu uzyskania najwyższego możliwego zwrotu. Rozkład normalny określa te dwa aspekty za pomocą średniej dla zwrotów i odchylenia standardowego dla ryzyka. (Aby uzyskać więcej informacji, zobacz „Analiza wariancji średnich”.)

Średnia lub oczekiwana wartość

Konkretna średnia zmiana ceny akcji może wynosić 1, 5% dziennie - co oznacza, że ​​średnio wzrasta o 1, 5%. Tę wartość średnią lub wartość oczekiwaną oznaczającą zwrot można uzyskać, obliczając średnią z wystarczająco dużego zestawu danych zawierającego historyczne dzienne zmiany cen tego towaru. Im wyższa średnia, tym lepiej.

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe wskazuje wielkość, o którą wartości odbiegają średnio od średniej. Im wyższe odchylenie standardowe, tym bardziej ryzykowna inwestycja, ponieważ prowadzi do większej niepewności.

Oto graficzna reprezentacja tego samego:

Stąd graficzna reprezentacja rozkładu normalnego poprzez jego średnią i odchylenie standardowe umożliwia przedstawienie zarówno zwrotów, jak i ryzyka w jasno określonym zakresie.

Pomaga wiedzieć (i mieć pewność), że jeśli jakiś zestaw danych będzie zgodny z normalnym wzorcem rozkładu, jego średnia pozwoli nam dowiedzieć się, czego się spodziewać, a odchylenie standardowe pozwoli nam wiedzieć, że około 68% wartości będzie w granicach 1 odchylenia standardowego, 95% w granicach 2 odchyleń standardowych, a 99% wartości będzie mieściło się w 3 odchyleniach standardowych. Zestaw danych, który ma średnią 1, 5 i odchylenie standardowe 1, jest znacznie bardziej ryzykowny niż inny zestaw danych mający średnią 1, 5 i odchylenie standardowe 0, 1.

Znajomość tych wartości dla każdego wybranego składnika aktywów (tj. Akcji, obligacji i funduszy) uświadomi inwestorowi spodziewane zwroty i ryzyko.

Łatwo jest zastosować tę koncepcję i przedstawić ryzyko i zwrot z jednej akcji, obligacji lub funduszu. Ale czy można to rozszerzyć na portfel wielu aktywów ">

Osoby fizyczne rozpoczynają handel od zakupu pojedynczej akcji lub obligacji lub inwestowania w fundusz wspólnego inwestowania. Stopniowo zwiększają swoje zasoby i kupują wiele akcji, funduszy lub innych aktywów, tworząc w ten sposób portfel. W tym inkrementalnym scenariuszu osoby budują swoje portfele bez strategii lub wielu rozważań. Profesjonalni zarządzający funduszami, handlowcy i animatorzy rynku stosują systematyczną metodę budowania swojego portfela przy użyciu matematycznego podejścia zwanego nowoczesną teorią portfela (MPT), opartą na koncepcji „normalnej dystrybucji”.

Teoria współczesnego portfela

Współczesna teoria portfela (MPT) oferuje systematyczne podejście matematyczne, którego celem jest maksymalizacja oczekiwanego zwrotu z portfela dla danej kwoty ryzyka portfela poprzez wybór proporcji różnych aktywów. Alternatywnie oferuje także minimalizację ryzyka dla danego poziomu oczekiwanego zwrotu.

Aby osiągnąć ten cel, aktywa, które mają zostać włączone do portfela, nie powinny być wybierane wyłącznie na podstawie ich indywidualnych osiągnięć, ale na podstawie tego, w jaki sposób każdy składnik będzie działał w stosunku do innych aktywów w portfelu.

W skrócie, MPT określa, jak najlepiej osiągnąć dywersyfikację portfela, aby uzyskać jak najlepsze wyniki: maksymalne zwroty dla akceptowalnego poziomu ryzyka lub minimalne ryzyko dla pożądanego poziomu zwrotów.

Bloki konstrukcyjne

MPT była tak rewolucyjną koncepcją, kiedy została wprowadzona, że ​​jej wynalazcy zdobyli Nagrodę Nobla. Ta teoria z powodzeniem dostarczyła matematyczną formułę do kierowania dywersyfikacją w inwestowaniu.

Dywersyfikacja to technika zarządzania ryzykiem, która usuwa ryzyko „wszystkich jaj w jednym koszyku” poprzez inwestowanie w nieskorelowane zapasy, sektory lub klasy aktywów. Idealnie, pozytywne wyniki jednego składnika aktywów w portfelu anulują negatywne wyniki innych aktywów.

Aby przyjąć średni zwrot z portfela, który ma n różnych aktywów, oblicza się proporcjonalnie ważoną kombinację zwrotów z aktywów składowych.

Ze względu na charakter obliczeń statystycznych i rozkład normalny całkowity zwrot z portfela (R _p ) oblicza się jako:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

Suma (∑), gdzie w _i jest proporcjonalną wagą składnika aktywów i w portfelu, R _i jest zwrotem (średnią) składnika aktywów i.

Ryzyko portfelowe (lub odchylenie standardowe) jest funkcją korelacji zawartych aktywów, dla wszystkich par aktywów (względem siebie w parze).

Ze względu na charakter obliczeń statystycznych i rozkład normalny całkowite ryzyko portfela (Std-dev) _p oblicza się jako:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ begin {wyrównany} i \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {wyrównany} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] W pobliżu

W tym przypadku cor-cof jest współczynnikiem korelacji między zwrotami aktywów i i j, a sqrt jest pierwiastkiem kwadratowym.

Dba to o względną wydajność każdego składnika aktywów w stosunku do drugiego.

Chociaż wydaje się to skomplikowane matematycznie, zastosowana tutaj prosta koncepcja obejmuje nie tylko standardowe odchylenia poszczególnych aktywów, ale także powiązane względem siebie.

Dobry przykład jest dostępny tutaj z University of Washington.

Szybki przykład MPT

Jako eksperyment myślowy wyobraźmy sobie, że jesteśmy zarządzającym portfelem, któremu przydzielono kapitał i którego zadaniem jest ustalenie, ile kapitału należy przeznaczyć na dwa dostępne aktywa (A i B), aby zmaksymalizować oczekiwany zwrot i obniżyć ryzyko.

Dostępne są również następujące wartości:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Zaczynając od równej alokacji 50–50 dla każdego składnika aktywów A i B, R _p oblicza się na 0, 115, a (Std-dev) _p dochodzi do 0, 1323. Proste porównanie mówi nam, że w przypadku tego portfela 2 aktywów zarówno zwrot, jak i ryzyko znajdują się w połowie drogi między poszczególnymi wartościami każdego składnika aktywów.

Naszym celem jest jednak poprawa zwrotu z portfela powyżej średniej dla pojedynczego składnika aktywów i zmniejszenie ryzyka, tak aby było ono niższe niż dla poszczególnych aktywów.

Przyjmijmy teraz pozycję alokacji kapitału 1, 5 w aktywach A i pozycję alokacji kapitału -0, 5 w aktywach B. (Ujemna alokacja kapitału oznacza zwarcie, że otrzymane zapasy i kapitał służą do zakupu nadwyżki drugiego składnika aktywów z dodatnią alokacją kapitału. innymi słowy, zmniejszamy kapitał B do 0, 5 razy kapitału i wykorzystujemy te pieniądze do zakupu akcji A za kwotę 1, 5 razy kapitału.)

Używając tych wartości, otrzymujemy R _p jako 0, 1604 i (Std-dev) _p jako 0, 4005.

Podobnie, możemy nadal używać różnych wag alokacji dla aktywów A i B i uzyskiwać różne zestawy Rp i (Std-dev) p. Zgodnie z pożądanym zwrotem (Rp) można wybrać najbardziej akceptowalny poziom ryzyka (std-dev) p. Alternatywnie, dla pożądanego poziomu ryzyka można wybrać najlepszy dostępny zwrot z portfela. Tak czy inaczej, dzięki temu matematycznemu modelowi teorii portfela możliwe jest osiągnięcie celu, jakim jest stworzenie efektywnego portfela z pożądaną kombinacją ryzyka i zwrotu.

Zastosowanie zautomatyzowanych narzędzi pozwala łatwo i płynnie wykryć najlepsze możliwe przydzielone proporcje, bez potrzeby długich ręcznych obliczeń.

Efektywna granica, model wyceny aktywów kapitałowych (CAPM) i wycena aktywów przy użyciu MPT również ewoluują od tego samego modelu normalnej dystrybucji i stanowią rozszerzenie MPT.

Wyzwania dla MPT (i leżące u podstaw normalnej dystrybucji)

Niestety żaden model matematyczny nie jest idealny, a każdy ma niedociągnięcia i ograniczenia.

Podstawowe założenie, że zwroty akcji są zgodne z normalną dystrybucją, jest wielokrotnie kwestionowane. Istnieje wystarczający empiryczny dowód na przypadki, w których wartości nie są zgodne z założonym rozkładem normalnym. Opieranie złożonych modeli na takich założeniach może prowadzić do wyników z dużymi odchyleniami.

Przechodząc dalej do MPT, obliczenia i założenia dotyczące współczynnika korelacji i kowariancji pozostających niezmiennymi (na podstawie danych historycznych) niekoniecznie muszą być prawdziwe dla przyszłych wartości oczekiwanych. Na przykład rynki obligacji i giełd wykazały doskonałą korelację na rynku brytyjskim w latach 2001–2004, gdzie zwroty z obu aktywów spadały jednocześnie. W rzeczywistości odwrotność zaobserwowano w długich okresach historycznych sprzed 2001 roku.

Zachowanie inwestorów nie jest brane pod uwagę w tym modelu matematycznym. Podatki i koszty transakcyjne są zaniedbywane, nawet jeśli zakłada się częściową alokację kapitału i możliwość zwarcia aktywów.

W rzeczywistości żadne z tych założeń może się nie sprawdzać, co oznacza, że ​​zrealizowane zyski finansowe mogą znacznie różnić się od oczekiwanych zysków.

Dolna linia

Modele matematyczne zapewniają dobry mechanizm kwantyfikacji niektórych zmiennych za pomocą pojedynczych liczb, które można śledzić. Ale z powodu ograniczeń założeń modele mogą zawieść.

Rozkład normalny, który stanowi podstawę teorii portfela, niekoniecznie musi mieć zastosowanie do akcji i innych modeli cen aktywów finansowych. Teoria portfela sama w sobie ma wiele założeń, które należy krytycznie zbadać przed podjęciem ważnych decyzji finansowych.