Testowanie hipotez w finansach: koncepcja i przykłady

Twój doradca inwestycyjny proponuje Ci miesięczny plan inwestycyjny, który obiecuje zmienny zwrot każdego miesiąca. Zainwestujesz w to tylko wtedy, gdy masz pewność, że dochód wynosi średnio 180 USD miesięcznie. Twój doradca informuje również, że w ciągu ostatnich 300 miesięcy program miał zwrot z inwestycji o średniej wartości 190 USD i standardowym odchyleniu 75 USD. Czy powinieneś zainwestować w ten program? Testowanie hipotez pomaga w podejmowaniu takich decyzji.

W tym artykule założono, że czytelnicy znają koncepcje normalnej tabeli rozkładu, formuły, wartości p i powiązanych podstaw statystyki.

Co to jest testowanie hipotez?

Hipoteza lub testowanie istotności to model matematyczny do testowania twierdzenia, idei lub hipotezy na temat parametru będącego przedmiotem zainteresowania w danym zbiorze populacji, z wykorzystaniem danych zmierzonych w zbiorze próbek. Obliczenia są wykonywane na wybranych próbkach w celu zebrania bardziej decydujących informacji o cechach całej populacji, co umożliwia systematyczny sposób testowania twierdzeń lub pomysłów na temat całego zestawu danych.

Oto prosty przykład: dyrektor szkoły informuje, że uczniowie w jej szkole oceniają średnio 7 na 10 punktów na egzaminach. Aby przetestować tę „hipotezę”, rejestrujemy oceny powiedzmy 30 uczniów (próba) z całej populacji uczniów szkoły (powiedzmy 300) i obliczamy średnią z tej próby. Następnie możemy porównać (obliczoną) średnią próby ze (zgłoszoną) średnią populacji i spróbować potwierdzić hipotezę.

Innym przykładem jest roczny zwrot z danego funduszu wspólnego inwestowania w wysokości 8%. Załóżmy, że fundusz wspólnego inwestowania istnieje od 20 lat. Bierzemy losową próbę rocznych zysków funduszu wspólnego, powiedzmy, przez pięć lat (próba) i obliczamy jej średnią. Następnie porównujemy (obliczoną) średnią próbki ze (deklarowaną) średnią populacji, aby zweryfikować hipotezę.

Kryteria decyzyjne muszą opierać się na określonych parametrach zestawów danych.

Istnieją różne metodologie testowania hipotez, ale w grę wchodzą te same cztery podstawowe kroki:

Krok 1: Zdefiniuj hipotezę

Zazwyczaj zgłaszana wartość (lub statystyki roszczenia) jest podawana jako hipoteza i zakłada się, że jest prawdziwa. Dla powyższych przykładów hipoteza będzie następująca:

• Przykład A: Uczniowie w szkole oceniają średnio 7 na 10 punktów na egzaminach.
• Przykład B: Roczny zwrot z funduszu wspólnego inwestowania wynosi 8% rocznie.

Podany opis stanowi „ hipotezę zerową (H ₀ ) ” i zakłada się, że jest on prawdą - sposób, w jaki oskarżony w sądzie przysięgłych jest uznawany za niewinny, dopóki dowody nie zostaną udowodnione winnym na podstawie dowodów przedstawionych w sądzie. Podobnie testowanie hipotez rozpoczyna się od stwierdzenia i przyjęcia „hipotezy zerowej”, a następnie proces określa, czy przypuszczenie może być prawdziwe, czy fałszywe.

Należy zauważyć, że testujemy hipotezę zerową, ponieważ istnieją wątpliwości co do jej zasadności. Jakakolwiek informacja przeciwko podanej hipotezie zerowej jest ujęta w Hipotezie Alternatywnej (H ₁ ). Dla powyższych przykładów alternatywną hipotezą będzie:

• Studenci oceniają średnią, która nie jest równa 7.
• Roczny zwrot z funduszu wspólnego inwestowania nie jest równy 8% rocznie.

Innymi słowy, hipoteza alternatywna jest bezpośrednią sprzecznością hipotezy zerowej.

Podobnie jak w procesie, jury zakłada niewinność oskarżonego (hipoteza zerowa). Prokurator musi udowodnić inaczej (hipoteza alternatywna). Podobnie badacz musi udowodnić, że hipoteza zerowa jest prawdziwa lub fałszywa. Jeśli prokurator nie udowodni alternatywnej hipotezy, ława przysięgłych musi pozwolić pozwanemu odejść (opierając decyzję na hipotezie zerowej). Podobnie, jeśli badacz nie udowodni alternatywnej hipotezy (lub po prostu nic nie robi), hipoteza zerowa jest uznawana za prawdziwą.

Krok 2: Ustaw kryteria

Kryteria decyzyjne muszą opierać się na określonych parametrach zestawów danych i tutaj pojawia się związek z rozkładem normalnym.

Zgodnie ze standardowymi statystykami postuluje się rozkład próbkowania: „Dla dowolnej wielkości próbki n rozkład próby X̅ jest normalny, jeśli populacja X, z której pobierana jest próbka, jest normalnie rozmieszczona.” Zatem prawdopodobieństwo wszystkich innych możliwych próbek oznacza, że można wybrać, że są zwykle dystrybuowane.

Na przykład ustal, czy średni dzienny zwrot z akcji notowanych na giełdzie XYZ w okolicach Nowego Roku jest większy niż 2%.

H ₀ : Hipoteza zerowa: średnia = 2%

H ₁ : Alternatywna hipoteza: średnia> 2% (właśnie to chcemy udowodnić)

Pobierz próbkę (powiedzmy z 50 stad na 500) i oblicz średnią z próby.

W przypadku rozkładu normalnego 95% wartości mieści się w dwóch standardowych odchyleniach średniej populacji. Stąd to założenie rozkładu normalnego i centralnego limitu dla przykładowego zestawu danych pozwala nam ustalić 5% jako poziom istotności. Ma to sens, ponieważ przy tym założeniu prawdopodobieństwo wystąpienia wartości odstających przekraczających dwa standardowe odchylenia od średniej populacji jest mniejsze niż 5% (100–95) prawdopodobieństwa. W zależności od charakteru zestawów danych, inne poziomy istotności można przyjąć na poziomie 1%, 5% lub 10%. W przypadku obliczeń finansowych (w tym finansów behawioralnych) 5% to ogólnie przyjęty limit. Jeśli znajdziemy jakiekolwiek obliczenia, które wykraczają poza zwykłe dwa odchylenia standardowe, mamy silny przypadek wartości odstających, aby odrzucić hipotezę zerową.

Graficznie jest reprezentowany w następujący sposób:

W powyższym przykładzie, jeśli średnia próbki jest znacznie większa niż 2% (powiedzmy 3, 5%), wówczas odrzucamy hipotezę zerową. Akceptowana jest hipoteza alternatywna (średnia> 2%), która potwierdza, że ​​średni dzienny zwrot zapasów rzeczywiście przekracza 2%.

Jeśli jednak średnia próbki prawdopodobnie nie będzie znacznie większa niż 2% (i pozostanie na poziomie, powiedzmy, około 2, 2%), NIE MOŻEMY odrzucić hipotezy zerowej. Wyzwanie polega na tym, jak decydować o przypadkach z bliskiego zasięgu. Aby wyciągnąć wnioski z wybranych próbek i wyników, należy określić poziom istotności, który umożliwi wyciągnięcie wniosku na temat hipotezy zerowej. Alternatywna hipoteza umożliwia ustalenie poziomu istotności lub koncepcji „wartości krytycznej” przy podejmowaniu decyzji w sprawach o bliskim zasięgu.

Zgodnie ze standardową definicją podręcznika: „Wartość krytyczna to wartość graniczna, która określa granice, powyżej których można uzyskać mniej niż 5% średnich próbek, jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa. Średnie próbki uzyskane powyżej wartości krytycznej będą skutkować decyzją o odrzuceniu hipotezy zerowej. ”W powyższym przykładzie, jeśli zdefiniowaliśmy wartość krytyczną jako 2, 1%, a obliczona średnia wynosi 2, 2%, wówczas odrzucamy hipotezę zerową Wartość krytyczna stanowi wyraźne rozgraniczenie akceptacji lub odrzucenia.

Krok 3: Oblicz statystyki

Ten krok obejmuje obliczenie wymaganych liczb, znanych jako statystyki testowe (takie jak średnia, wynik Z, wartość p itd.), Dla wybranej próbki. (Przejdziemy do nich w dalszej części.)

Krok 4: Osiągnij wniosek

Z obliczonych wartości wybierz hipotezę zerową. Jeśli prawdopodobieństwo uzyskania średniej próbki jest mniejsze niż 5%, wówczas wniosek jest odrzuceniem hipotezy zerowej. W przeciwnym razie zaakceptuj i zachowaj hipotezę zerową.

Rodzaje błędów

W podejmowaniu decyzji opartych na próbach mogą istnieć cztery możliwe wyniki, jeśli chodzi o prawidłowe zastosowanie do całej populacji:

Przypadki „poprawne” to takie, w których decyzje dotyczące próbek naprawdę mają zastosowanie do całej populacji. Przypadki błędów powstają, gdy ktoś decyduje się zachować (lub odrzucić) hipotezę zerową na podstawie obliczeń próby, ale decyzja ta tak naprawdę nie dotyczy całej populacji. Przypadki te stanowią błędy typu 1 (alfa) i typu 2 (beta), jak wskazano w powyższej tabeli.

Wybór poprawnej wartości krytycznej pozwala wyeliminować błędy alfa typu 1 lub ograniczyć je do dopuszczalnego zakresu.

Alfa oznacza błąd na poziomie istotności i jest określany przez badacza. Aby utrzymać standardowy 5% poziom istotności lub poziom ufności do obliczeń prawdopodobieństwa, jest on utrzymywany na poziomie 5%.

Zgodnie z obowiązującymi wskaźnikami odniesienia i definicjami:

• „To kryterium (alfa) jest zwykle ustawione na 0, 05 (a = 0, 05) i porównujemy poziom alfa z wartością p. Gdy prawdopodobieństwo błędu typu I jest mniejsze niż 5% (p <0, 05), decydujemy się odrzucić hipotezę zerową; w przeciwnym razie zachowujemy hipotezę zerową. ”
• Technicznym terminem stosowanym do tego prawdopodobieństwa jest wartość p . Definiuje się go jako „prawdopodobieństwo uzyskania wyniku próby, biorąc pod uwagę, że wartość podana w hipotezie zerowej jest prawdziwa. Wartość p dla uzyskania wyniku próby jest porównywana z poziomem istotności. ”
• Błąd typu II lub błąd beta definiuje się jako „prawdopodobieństwo niepoprawnego zachowania hipotezy zerowej, podczas gdy w rzeczywistości nie ma ona zastosowania do całej populacji”.

Jeszcze kilka przykładów pokaże to i inne obliczenia.

Przykład 1

Istnieje program inwestycji miesięcznych, który obiecuje zmienne miesięczne zwroty. Inwestor zainwestuje w to tylko wtedy, gdy zapewni sobie średni dochód w wysokości 180 USD miesięcznie. Ma próbkę zwrotu z 300 miesięcy, co ma średnią 190 USD i standardowe odchylenie 75 USD. Czy powinien zainwestować w ten program?>

Ustawmy problem. Inwestor zainwestuje w program, jeśli ma pewność, że uzyska pożądany średni zwrot w wysokości 180 USD.

H ₀ : Hipoteza zerowa: średnia = 180

H ₁ : Alternatywna hipoteza: średnia> 180

Metoda 1: Podejście do wartości krytycznej

Zidentyfikuj wartość krytyczną _XL dla średniej próbki, która jest wystarczająco duża, aby odrzucić hipotezę zerową - tj. Odrzucić hipotezę zerową, jeśli średnia próbki> = wartość krytyczna _XL

P (zidentyfikuj błąd alfa typu I) = P (odrzuć H _0, biorąc pod uwagę, że H ₀ jest prawdziwe),

Zostałoby to osiągnięte, gdy średnia próbki przekroczy granice krytyczne.

= P (biorąc pod uwagę, że H ₀ jest prawdziwe) = alfa

Graficznie wygląda następująco:

Biorąc alfa = 0, 05 (tj. 5% poziom istotności), Z _{0, 05} = 1, 645 (z tabeli Z lub tabeli rozkładu normalnego)

=> X _L = 180 + 1.645 * (75 / sqrt (300)) = 187, 12

Ponieważ średnia próbki (190) jest większa niż wartość krytyczna (187, 12), hipoteza zerowa zostaje odrzucona, a wniosek jest taki, że średni miesięczny zwrot jest rzeczywiście większy niż 180 USD, więc inwestor może rozważyć inwestowanie w ten program.

Metoda 2: Wykorzystanie znormalizowanych statystyk testowych

Można również użyć znormalizowanej wartości z.

Statystyka testowa, Z = (średnia próbki - średnia populacji) / (std-dev / sqrt (liczba próbek).

Następnie region odrzucenia staje się następujący:

Z = (190 - 180) / (75 / sqrt (300)) = 2, 309

Nasz region odrzucenia przy poziomie istotności 5% to Z> Z _{0, 05} = 1, 645.

Ponieważ Z = 2, 309 jest większe niż 1, 645, hipotezę zerową można odrzucić z podobnym wnioskiem wspomnianym powyżej.

Metoda 3: Obliczanie wartości P.

Naszym celem jest zidentyfikowanie P (średnia próbki> = 190, gdy średnia = 180).

= P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))

= P (Z> = 2, 309) = 0, 0084 = 0, 84%

W poniższej tabeli, z której można wnioskować o obliczeniach wartości p, stwierdzono, że potwierdzono dowody, że średnie miesięczne zwroty są wyższe niż 180:

Przykład 2

Nowy makler giełdowy (XYZ) twierdzi, że jego opłaty maklerskie są niższe niż u obecnego maklera papierów wartościowych (ABC). Dane dostępne z niezależnej firmy badawczej wskazują, że średnia i standardowe odchylenie wszystkich klientów brokerów ABC wynoszą odpowiednio 18 i 6 USD.

Pobierana jest próbka 100 klientów ABC i naliczane są opłaty maklerskie według nowych stawek brokera XYZ. Jeśli średnia próbki wynosi 18, 75 USD, a std-dev jest taki sam (6 USD), czy można wnioskować o różnicy w średnim rachunku maklerskim między ABC a brokerem XYZ ">

H ₀ : Hipoteza zerowa: średnia = 18

H ₁ : Alternatywna hipoteza: średnia 18 (To właśnie chcemy udowodnić.)

Region odrzucenia: Z <= - Z _{2, 5} i Z> = Z _{2, 5} (przy założeniu 5% poziomu istotności, podzielony po 2, 5 z każdej strony).

Z = (średnia próbki - średnia) / (std-dev / sqrt (liczba próbek))

= (18, 75 - 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1, 25

Ta obliczona wartość Z mieści się w dwóch granicach określonych przez:

- Z _{2, 5} = -1, 96 i Z _{2, 5} = 1, 96.

Stwierdza to, że nie ma wystarczających dowodów, aby wnioskować, że istnieje jakakolwiek różnica między stawkami obecnego brokera i nowego brokera.

Alternatywnie, wartość p = P (Z1, 25)

= 2 * 0, 1056 = 0, 2112 = 21, 12%, co jest większe niż 0, 05 lub 5%, co prowadzi do tego samego wniosku.

Graficznie reprezentuje to:

Punkty krytyki dla hipotetycznej metody testowania:

• Metoda statystyczna oparta na założeniach
• Podatne na błędy, jak opisano szczegółowo pod względem błędów alfa i beta
• Interpretacja wartości p może być niejednoznaczna, co prowadzi do mylących wyników

Dolna linia

Testowanie hipotez pozwala modelowi matematycznemu zweryfikować twierdzenie lub pomysł z pewnym poziomem ufności. Jednak, podobnie jak większość narzędzi i modeli statystycznych, wiąże się z kilkoma ograniczeniami. Wykorzystanie tego modelu do podejmowania decyzji finansowych należy rozpatrywać krytycznie, pamiętając o wszystkich zależnościach. Warto również zbadać alternatywne metody, takie jak wnioskowanie bayesowskie w celu przeprowadzenia podobnej analizy.