Definicja relacji liniowej

Co to jest relacja liniowa?

Relacja liniowa (lub asocjacja liniowa) jest terminem statystycznym stosowanym do opisania relacji liniowej między zmienną a stałą. Zależności liniowe można wyrazić albo w formacie graficznym, w którym zmienna i stała są połączone linią prostą, albo w formacie matematycznym, w którym zmienna niezależna jest mnożona przez współczynnik nachylenia, dodawany przez stałą, która określa zmienną zależną.

Relację liniową można skontrastować z relacją wielomianową lub nieliniową (zakrzywioną).

Kluczowe dania na wynos

• Relacja liniowa (lub asocjacja liniowa) jest terminem statystycznym stosowanym do opisania relacji liniowej między zmienną a stałą.
• Zależności liniowe można wyrazić albo w formie graficznej, albo jako równanie matematyczne o postaci y = mx + b.
• Relacje liniowe są dość powszechne w życiu codziennym.

Równanie liniowe to:

Matematycznie relacja liniowa to taka, która spełnia równanie:

y = mx + bwhere: m = slopeb = przechwycenie y \ początek {wyrównany} i y = mx + b \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & m = \ text {nachylenie} \\ & b = \ text {y -intercept} \\ \ end {wyrównany} y = mx + bwhere: m = slopeb = przecięcie y

W tym równaniu „x” i „y” to dwie zmienne powiązane parametrami „m” i „b”. Graficznie, y = mx + b wykreśla w płaszczyźnie xy jako linię o nachyleniu „m” i przecięciu y „b”. Przecięcie y „b” jest po prostu wartością „y”, gdy x = 0. Nachylenie „m” oblicza się z dwóch dowolnych punktów (x ₁, y ₁ ) i (x ₂, y ₂ ) jako:

m = (y2-y1) (x2-x1) m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} m = (x2 −x1) (y2 −y1)

1:02

Zależność liniowa

Co mówi ci związek liniowy?

Istnieją trzy zestawy niezbędnych kryteriów, które równanie musi spełnić, aby zakwalifikować je jako liniowe: równanie wyrażające zależność liniową nie może składać się z więcej niż dwóch zmiennych, wszystkie zmienne w równaniu muszą być do pierwszej potęgi, a równanie musi być przedstawione jako linia prosta.

Funkcja liniowa w matematyce to taka, która spełnia właściwości addytywności i jednorodności. Funkcje liniowe również przestrzegają zasady superpozycji, która mówi, że produkcja netto dwóch lub więcej danych wejściowych jest równa sumie wyników poszczególnych danych wejściowych. Często stosowaną relacją liniową jest korelacja, która opisuje, w jaki sposób jedna zmienna zmienia się liniowo na zmiany w innej zmiennej.

W ekonometrii regresja liniowa jest często stosowaną metodą generowania zależności liniowych w celu wyjaśnienia różnych zjawisk. Jednak nie wszystkie relacje są liniowe. Niektóre dane opisują zakrzywione relacje (takie jak relacje wielomianowe), a jeszcze innych danych nie można sparametryzować.

Funkcje liniowe

Matematycznie podobna do relacji liniowej jest koncepcja funkcji liniowej. W jednej zmiennej można zapisać funkcję liniową w następujący sposób:

f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = przechwycenie y \ początek {wyrównany} i f (x) = mx + b \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & m = \ text {nachylenie} \\ & b = \ text {przechwyt-y} \\ \ end {wyrównany} f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = przechwyt y

Jest to identyczne z podanym wzorem dla relacji liniowej, z tym wyjątkiem, że zamiast y użyto symbolu f (x) . Podstawienie to ma na celu podkreślenie znaczenia, że ​​x jest odwzorowany na f (x), podczas gdy użycie y oznacza po prostu, że xiy są dwiema wielkościami, powiązanymi przez A i B.

W badaniu algebry liniowej właściwości funkcji liniowych są szeroko badane i rygorystyczne. Biorąc pod uwagę skalar C i dwa wektory A i B z R ^N, najbardziej ogólna definicja funkcji liniowej stwierdza, że: c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B) c \ razy f (A + B) = c \ razy f (A) + c \ razy f (B) c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Przykłady relacji liniowych

Przykład 1

Relacje liniowe są dość powszechne w życiu codziennym. Weźmy na przykład pojęcie prędkości. Wzór, którego używamy do obliczania prędkości, jest następujący: prędkość jest odległością przebytą w czasie. Jeśli ktoś w białej furgonetce Chrysler Town and Country z 2007 roku podróżuje między Sacramento i Marysville w Kalifornii, na odcinku 41.3 mil na autostradzie 99, a cała podróż kończy się w 40 minut, podróżuje ona z prędkością mniejszą niż 60 mil na godzinę.

Chociaż w tym równaniu są więcej niż dwie zmienne, nadal jest to równanie liniowe, ponieważ jedna ze zmiennych zawsze będzie stała (odległość).

Przykład 2

Zależność liniową można również znaleźć w równaniu odległość = częstość x czas. Ponieważ odległość jest liczbą dodatnią (w większości przypadków), ta liniowa zależność byłaby wyrażona w prawej górnej ćwiartce wykresu z osią X i Y.

Jeśli rower stworzony dla dwóch osób podróżuje z prędkością 30 mil na godzinę przez 20 godzin, jeździec ostatecznie przejedzie 600 mil. Reprezentowana graficznie z odległością na osi Y i czasem na osi X, linia śledząca odległość w ciągu tych 20 godzin wyruszyłaby prosto z zbieżności osi X i Y.

Przykład 3

Aby przekonwertować stopnie Celsjusza na stopnie Fahrenheita lub stopnie Fahrenheita na stopnie Celsjusza, użyj poniższych równań. Te równania wyrażają zależność liniową na wykresie:

° C = 59 (° F − 32) \ stopień C = \ frac {5} {9} (\ stopień F - 32) ° C = 95 (° F − 32)

° F = 95 (° C + 32) \ stopień F = \ frac {9} {5} (\ stopień C + 32) ° F = 59 (° C + 32)

Przykład 4

Załóżmy, że zmienną niezależną jest wielkość domu (mierzona na podstawie metrażu kwadratowego), która określa cenę rynkową domu (zmienna zależna), gdy jest ona pomnożona przez współczynnik nachylenia 207, 65, a następnie jest dodawana do stałego terminu 10 500 USD . Jeśli powierzchnia domu wynosi 1250, wartość rynkowa domu wynosi (1250 x 207, 65) + 10500 USD = 270 062, 50 USD. Graficznie i matematycznie wygląda następująco:

W tym przykładzie wraz ze wzrostem wielkości domu wartość rynkowa domu wzrasta w sposób liniowy.

Niektóre liniowe relacje między dwoma obiektami można nazwać „stałą proporcjonalności”. Ten związek wygląda jak

Y = k × X gdzie: k = stała Y, X = wielkości proporcjonalne \ początek {wyrównany} i Y = k \ razy X \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & k = \ text {stała} \\ i Y, X = \ text {wielkości proporcjonalne} \\ \ end {wyrównane} Y = k × X gdzie: k = stała Y, X = wielkości proporcjonalne

Analizując dane behawioralne, rzadko istnieje idealna liniowa zależność między zmiennymi. Linie trendu można jednak znaleźć w danych, które tworzą zgrubną wersję zależności liniowej. Na przykład możesz spojrzeć na sprzedaż lodów i liczbę wizyt w szpitalu jako dwie zmienne na wykresie i znaleźć liniową zależność między nimi.

Porównaj rachunki inwestycyjne Nazwa dostawcy Opis Ujawnienie reklamodawcy × Oferty przedstawione w tej tabeli pochodzą od partnerstw, od których Investopedia otrzymuje wynagrodzenie.

Terminy pokrewne

Wewnątrz krańcowej stopy substytucji Krańcową stawkę substytucji definiuje się jako ilość towaru, którą konsument jest skłonny zrezygnować z innego dobra, o ile jest ono równie satysfakcjonujące. więcej Zrozumienie krańcowej stopy substytucji technicznej Krańcową stawkę substytucji technicznej to szybkość, przy której czynnik musi się zmniejszyć, a drugi musi wzrosnąć, aby zachować ten sam poziom wydajności. więcej Linia najlepszego dopasowania Linia najlepszego dopasowania jest wynikiem analizy regresji, która reprezentuje związek między dwiema lub więcej zmiennymi w zbiorze danych. więcej Wewnątrz trendu wielomianowego Trendowanie wielomianowe opisuje wzór w danych, który jest zakrzywiony lub zrywa z prostym trendem liniowym. Często występuje w dużym zestawie danych, który zawiera wiele fluktuacji. więcej Co mówi nam korelacja odwrotna Korelacja odwrotna, znana również jako korelacja ujemna, to przeciwna zależność między dwiema zmiennymi, tak że poruszają się one w przeciwnych kierunkach. więcej Co to jest termin błędu "> Termin błąd jest zdefiniowany jako zmienna w modelu statystycznym, który jest tworzony, gdy model nie w pełni reprezentuje rzeczywistą zależność między zmiennymi niezależnymi i zależnymi. więcej Linki partnerskie