Definicja twierdzenia Bayesa
Twierdzenie Bayesa, nazwane na cześć XVIII-wiecznego brytyjskiego matematyka Thomasa Bayesa, jest matematyczną formułą określania prawdopodobieństwa warunkowego. Twierdzenie zapewnia sposób na weryfikację istniejących prognoz lub teorii (prawdopodobieństwa aktualizacji), biorąc pod uwagę nowe lub dodatkowe dowody. W finansach twierdzenie Bayesa można wykorzystać do oceny ryzyka pożyczenia pieniędzy potencjalnym pożyczkobiorcom.
Twierdzenie Bayesa jest również nazywane regułą Bayesa lub prawem Bayesa i stanowi podstawę dziedziny statystyki bayesowskiej.
Kluczowe dania na wynos
- Twierdzenie Bayesa umożliwia aktualizację przewidywanych prawdopodobieństw zdarzenia poprzez włączenie nowych informacji.
- Twierdzenie Bayesa zostało nazwane na cześć XVIII-wiecznego matematyka Thomasa Bayesa.
- Często stosuje się go w finansach przy aktualizacji oceny ryzyka.
Wzór na twierdzenie Bayesa Is
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) gdzie: P (A) = prawdopodobieństwo wystąpienia A P (B) = Prawdopodobieństwo wystąpienia B P (A∣B) = Prawdopodobieństwo A przy danym BP (B∣A) = Prawdopodobieństwo B przy danym AP (A⋂B)) = Prawdopodobieństwo wystąpienia A i B \ zacznij {wyrównany} i P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {Prawdopodobieństwo wystąpienia A} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {Prawdopodobieństwo wystąpienia B} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {Prawdopodobieństwo A dla B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {Prawdopodobieństwo B dla A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {Prawdopodobieństwo wystąpienia A i B} \\ \ end {wyrównany} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) (P (B∣A) gdzie: P (A) = prawdopodobieństwo wystąpienia A P (B) = prawdopodobieństwo wystąpienia B P (A∣B) = prawdopodobieństwo A danego BP (B∣A) = prawdopodobieństwo B określonego AP (A⋂B)) = prawdopodobieństwo wystąpienia A i B
Wyjaśnienie twierdzenia Bayesa
Zastosowania twierdzenia są powszechne i nie ograniczają się do dziedziny finansowej. Jako przykład można zastosować twierdzenie Bayesa do ustalenia dokładności wyników badań medycznych, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo wystąpienia choroby u danej osoby oraz ogólną dokładność testu. Twierdzenie Bayesa polega na włączeniu wcześniejszych rozkładów prawdopodobieństwa w celu wygenerowania prawdopodobieństw późniejszych. Wcześniejsze prawdopodobieństwo, według wnioskowania statystycznego Bayesa, jest prawdopodobieństwem zdarzenia przed zebraniem nowych danych. Jest to najlepsza racjonalna ocena prawdopodobieństwa wyniku na podstawie aktualnej wiedzy przed przeprowadzeniem eksperymentu. Prawdopodobieństwo późniejsze to skorygowane prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia po uwzględnieniu nowych informacji. Prawdopodobieństwo tylne oblicza się poprzez aktualizację wcześniejszego prawdopodobieństwa za pomocą twierdzenia Bayesa. W kategoriach statystycznych prawdopodobieństwo a posteriori to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, biorąc pod uwagę, że zdarzenie B miało miejsce.
Twierdzenie Bayesa podaje zatem prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie nowych informacji, które są lub mogą być powiązane z tym zdarzeniem. Formuły można również użyć do sprawdzenia, w jaki sposób na hipotetyczne nowe informacje wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, zakładając, że nowa informacja okaże się prawdziwa. Załóżmy na przykład, że jedna karta jest dobierana z pełnej talii 52 kart. Prawdopodobieństwo, że karta jest królem, wynosi 4 podzielone przez 52, co stanowi 1/13 lub około 7, 69%. Pamiętaj, że w talii jest 4 królów. Załóżmy teraz, że ujawniono, że wybrana karta jest kartą twarzy. Prawdopodobieństwo, że wybrana karta jest królem, biorąc pod uwagę, że jest to karta twarzy, wynosi 4 podzielone przez 12, czyli około 33, 3%, ponieważ w talii znajduje się 12 kart twarzy.
Wyprowadzenie wzoru twierdzenia Bayesa na przykładzie
Twierdzenie Bayesa wynika po prostu z aksjomatów prawdopodobieństwa warunkowego. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo zdarzenia, biorąc pod uwagę, że miało miejsce inne zdarzenie. Na przykład proste pytanie prawdopodobieństwa może zadać: „Jakie jest prawdopodobieństwo spadku ceny akcji Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?” Prawdopodobieństwo warunkowe przesuwa to pytanie o krok dalej, pytając: „Jakie jest prawdopodobieństwo spadku ceny akcji AMZN, biorąc pod uwagę wcześniejszy spadek indeksu Dow Jones Industrial Average (DJIA)?”
Warunkowe prawdopodobieństwo A, biorąc pod uwagę, że wystąpiło B, można wyrazić jako:
Jeśli A to: „cena AMZN spada”, wówczas P (AMZN) oznacza prawdopodobieństwo spadku AMZN; a B to: „DJIA już jest w dół”, a P (DJIA) jest prawdopodobieństwem upadku DJIA; wówczas wyrażenie prawdopodobieństwa warunkowego brzmi „prawdopodobieństwo spadku AMZN przy spadku DJIA jest równe prawdopodobieństwu spadku ceny AMZN i spadku DJIA ponad prawdopodobieństwo spadku indeksu DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN i DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN i DJIA) to prawdopodobieństwo wystąpienia zarówno A, jak i B. Jest to również to samo, co prawdopodobieństwo wystąpienia A pomnożone przez prawdopodobieństwo wystąpienia B, biorąc pod uwagę, że A wystąpi, wyrażone jako P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Fakt, że te dwa wyrażenia są równe, prowadzi do twierdzenia Bayesa, zapisanego jako:
jeśli, P (AMZN i DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
następnie P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Gdzie P (AMZN) i P (DJIA) to prawdopodobieństwo upadku Amazon i Dow Jones, bez względu na siebie.
Formuła wyjaśnia związek między prawdopodobieństwem hipotezy przed zobaczeniem dowodu, że P (AMZN), a prawdopodobieństwem hipotezy po uzyskaniu dowodu P (AMZN | DJIA), biorąc pod uwagę hipotezę dla Amazon podaną w Dow.
Numeryczny przykład twierdzenia Bayesa
Jako przykład liczbowy, wyobraź sobie, że istnieje test narkotykowy, który jest 98% dokładny, co oznacza, że 98% czasu pokazuje prawdziwy pozytywny wynik dla osoby używającej narkotyku, a 98% czasu pokazuje prawdziwy wynik negatywny dla osób nieużywających narkotyk. Następnie załóżmy, że 0, 5% osób używa narkotyku. Jeśli osoba wybrana losowo uzyska pozytywny wynik testu na lek, można wykonać następujące obliczenia, aby sprawdzić, czy prawdopodobieństwo, że dana osoba jest faktycznie użytkownikiem narkotyku.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Twierdzenie Bayesa pokazuje, że nawet jeśli osoba uzyskała pozytywny wynik w tym scenariuszu, w rzeczywistości jest znacznie bardziej prawdopodobne, że osoba ta nie jest użytkownikiem narkotyku.
Porównaj rachunki inwestycyjne Nazwa dostawcy Opis Ujawnienie reklamodawcy × Oferty przedstawione w tej tabeli pochodzą od partnerstw, od których Investopedia otrzymuje wynagrodzenie.