Złożone odsetki
Odsetki złożone (lub odsetki składane) to odsetki obliczane od początkowej kwoty głównej, która obejmuje również wszystkie skumulowane odsetki z poprzednich okresów depozytu lub pożyczki. Uważa się, że pochodzi on z XVII wieku we Włoszech, a odsetki złożone można uważać za „odsetki od odsetek” i sprawią, że suma będzie rosła szybciej niż zwykłe odsetki, które są obliczane tylko na podstawie kwoty głównej.
Kluczowe dania na wynos
- Odsetki złożone (lub odsetki składane) to odsetki obliczane od początkowej kwoty głównej, która obejmuje również wszystkie skumulowane odsetki z poprzednich okresów depozytu lub pożyczki.
- Odsetki złożone oblicza się, mnożąc początkową kwotę główną przez jeden plus roczną stopę procentową podniesioną do liczby okresów złożonych minus jeden.
- Odsetki mogą być zwiększane według dowolnego harmonogramu częstotliwości, od ciągłego przez dzienny do rocznego.
- Przy obliczaniu odsetek złożonych istotna jest liczba okresów łączenia.
Szybkość narastania odsetek składanych zależy od częstotliwości łączenia, tak że im większa liczba okresów łączenia, tym wyższe odsetki złożone. Tak więc kwota odsetek złożonych naliczonych od 100 USD obliczonych na 10% rocznie będzie niższa niż kwota 100 USD obliczonych na 5% co pół roku w tym samym okresie. Ponieważ efekt odsetek od odsetek może generować coraz bardziej dodatnie zwroty w oparciu o początkową kwotę główną, czasami bywa nazywany „cudem odsetek składanych”.
1:59Zrozumieć złożone odsetki
Obliczanie odsetek składanych
Odsetki złożone oblicza się, mnożąc początkową kwotę główną przez jeden plus roczną stopę procentową podniesioną do liczby okresów złożonych minus jeden. Całkowita początkowa kwota pożyczki jest następnie odejmowana od wartości wynikowej.
Wzór na obliczanie odsetek złożonych to:
Odsetki złożone = Łączna kwota kapitału i odsetek w przyszłości (lub przyszłej wartości) pomniejszona o kwotę główną obecnie (lub wartości bieżącej)
= [P (1 + i ) n ] - P
= P [(1 + i ) n - 1]
(Gdzie P = główny, i = nominalna roczna stopa procentowa, wyrażona w procentach, a n = liczba okresów składanych.)
Weź trzyletnią pożyczkę w wysokości 10 000 USD przy oprocentowaniu wynoszącym 5% co roku. Jaka byłaby kwota odsetek ">
Wzrost składanych odsetek
Korzystając z powyższego przykładu, ponieważ odsetki złożone uwzględniają również odsetki skumulowane w poprzednich okresach, kwota odsetek nie jest taka sama przez wszystkie trzy lata, jak w przypadku odsetek zwykłych. Chociaż łączne odsetki do zapłaty w trzyletnim okresie pożyczki wynoszą 1 576, 25 USD, odsetki do zapłaty na koniec każdego roku pokazano w poniższej tabeli.
Okresy złożone
Przy obliczaniu odsetek złożonych istotna jest liczba okresów łączenia. Podstawowa zasada jest taka, że im większa liczba okresów składanych, tym większa kwota odsetek składanych.
Poniższa tabela pokazuje różnicę, jaką liczba okresów złożonych może przynieść dla pożyczki w wysokości 10 000 USD przy rocznej stopie procentowej wynoszącej 10% w okresie 10 lat.
Odsetki złożone mogą znacznie zwiększyć zwrot z inwestycji w długim okresie. Podczas gdy depozyt w wysokości 100 000 USD, który otrzymuje 5% zwykłych odsetek, zarobiłby 50 000 USD odsetek w ciągu 10 lat, odsetki złożone w wysokości 5% od 10 000 USD wyniosłyby 62 8899, 46 USD w tym samym okresie.
Obliczanie złożone Excela
Jeśli minęło już trochę czasu od twoich zajęć z matematyki, nie bój się: istnieją przydatne narzędzia, które pomogą w poprawianiu postaci. Wiele kalkulatorów (zarówno ręcznych, jak i komputerowych) ma funkcje wykładnicze, które można wykorzystać do tych celów. Jeśli pojawią się bardziej skomplikowane zadania złożone, można je wykonać za pomocą programu Microsoft Excel - na trzy różne sposoby.
- Pierwszym sposobem obliczenia odsetek składanych jest pomnożenie nowego salda każdego roku przez stopę procentową. Załóżmy, że wpłacasz 1000 USD na konto oszczędnościowe z oprocentowaniem wynoszącym 5%, które jest co roku powiększane, i chcesz obliczyć saldo za pięć lat. W programie Microsoft Excel wpisz „Rok” w komórce A1 i „Saldo” w komórce B1. Wprowadź lata od 0 do 5 w komórkach od A2 do A7. Saldo dla roku 0 wynosi 1000 USD, więc wpisujesz „1000” w komórce B2. Następnie wpisz „= B2 * 1.05” w komórce B3. Następnie wpisz „= B3 * 1.05” w komórce B4 i kontynuuj to, aż dojdziesz do komórki B7. W komórce B7 obliczenia wynoszą „= B6 * 1, 05”. Na koniec obliczona wartość w komórce B7 - 1 276, 28 USD - stanowi saldo na koncie oszczędnościowym po pięciu latach. Aby znaleźć złożoną wartość odsetek, odejmij 1000 USD od 1 276, 28 USD; daje to wartość 276, 28 USD.
- Drugim sposobem obliczania odsetek składanych jest zastosowanie stałej formuły. Wzór na odsetki złożone to ((P * (1 + i) ^ n) - P), gdzie P to podstawa, i to roczna stopa procentowa, a n to liczba okresów. Korzystając z tych samych informacji powyżej, wpisz „Wartość główna” w komórce A1 i 1000 w komórce B1. Następnie wpisz „Stopa procentowa” w komórce A2 i „.05” w komórce B2. Wpisz „Okresy złożone” w komórce A3 i „5” w komórce B3. Teraz możesz obliczyć odsetki złożone w komórce B4, wpisując „= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1”, co daje 276, 28 USD.
- Trzecim sposobem obliczania odsetek złożonych jest utworzenie funkcji makra. Najpierw uruchom Edytor Visual Basic, który znajduje się na karcie programisty. Kliknij menu Wstaw i kliknij Moduł. Następnie wpisz „Function Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double” w pierwszym wierszu. W drugim wierszu naciśnij klawisz Tab i wpisz „Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P”. W trzecim wierszu modułu wpisz „End Function”. Utworzono makro funkcyjne do obliczania złożonej stopy procentowej. Kontynuując ten sam arkusz programu Excel powyżej, wpisz „Zainteresowanie złożone” do komórki A6 i wpisz „= Zainteresowanie złożone (B1, B2, B3)”. To daje wartość 276, 28 USD, co jest zgodne z dwiema pierwszymi wartościami.
Korzystanie z innych kalkulatorów
Jak wspomniano powyżej, wiele bezpłatnych kalkulatorów odsetek składanych jest oferowanych online, a wiele kalkulatorów ręcznych może również wykonywać te zadania.
- Bezpłatny kalkulator odsetek składanych oferowany przez Financial-Calculators.com jest prosty w obsłudze i oferuje możliwość wyboru złożonej częstotliwości od codziennej do rocznej. Zawiera opcję ciągłego łączenia, a także umożliwia wprowadzanie faktycznych dat rozpoczęcia i zakończenia kalendarza. Po wprowadzeniu niezbędnych danych obliczeniowych wyniki pokazują zarobione odsetki, przyszłą wartość, roczny procentowy zysk (RRSO), który jest miarą obejmującą składanie i dzienne odsetki.
- Investor.gov, strona internetowa prowadzona przez amerykańską Komisję Papierów Wartościowych i Giełd (SEC), oferuje bezpłatny kalkulator odsetek składanych online. Kalkulator jest dość prosty, ale umożliwia wprowadzanie miesięcznych dodatkowych depozytów do kwoty głównej, co jest pomocne w obliczaniu zarobków, w których gromadzone są dodatkowe miesięczne oszczędności.
- Bezpłatny kalkulator odsetek online z kilkoma dodatkowymi funkcjami jest dostępny na stronie TheCalculatorSite.com. Ten kalkulator umożliwia obliczenia dla różnych walut, możliwość uwzględnienia miesięcznych wpłat lub wypłat oraz opcję automatycznego obliczania podwyżek skorygowanych o inflację do miesięcznych wpłat lub wypłat.
Częstotliwość mieszania
Odsetki mogą być zwiększane według dowolnego harmonogramu częstotliwości, od codziennego do rocznego. Istnieją standardowe harmonogramy częstotliwości, które są zwykle stosowane do instrumentów finansowych.
Powszechnie stosowany harmonogram tworzenia kont oszczędnościowych w banku jest codzienny. W przypadku płyt CD typowe harmonogramy częstotliwości łączenia są codzienne, miesięczne lub półroczne; w przypadku kont rynku pieniężnego jest to często codzienne. W przypadku hipotecznych kredytów mieszkaniowych, hipotecznych kredytów mieszkaniowych, osobistych pożyczek biznesowych lub rachunków kart kredytowych najczęściej stosowanym harmonogramem składania jest miesięcznie. Mogą również występować różnice w ramach czasowych, w których naliczone odsetki są faktycznie zapisywane na istniejącym saldzie. Odsetki od rachunku mogą być naliczane codziennie, ale kredytowane tylko co miesiąc. Dopiero gdy odsetki zostaną faktycznie zapisane lub dodane do istniejącego salda, zaczną zarabiać dodatkowe odsetki na rachunku.
Niektóre banki oferują również coś, co nazywa się stale rosnącymi odsetkami, co zwiększa odsetki od kapitału w każdej możliwej chwili. Ze względów praktycznych nie nalicza się o wiele więcej niż codzienne naliczanie odsetek, chyba że chcesz wpłacić pieniądze i wyjąć je tego samego dnia.
Częstsze składanie odsetek jest korzystne dla inwestora lub wierzyciela. W przypadku kredytobiorcy sytuacja jest odwrotna.
Wartość pieniądza do rozważenia
Zrozumienie wartości pieniądza w czasie i wykładniczego wzrostu spowodowanego złożeniem jest niezbędne dla inwestorów, którzy chcą zoptymalizować alokację dochodów i majątku.
Wzór na uzyskanie przyszłej wartości (FV) i wartości bieżącej (PV) jest następujący:
FV = PV (1 + i) n oraz PV = FV / (1 + i) n
Na przykład przyszła wartość 10 000 USD mierzona w wysokości 5% rocznie przez trzy lata:
= 10 000 USD (1 + 0, 05) 3
= 10 000 USD (1, 157625)
= 11 576, 25 USD
Obecna wartość 11 576, 25 USD zdyskontowana w wysokości 5% przez trzy lata:
= 11 576, 25 USD / (1 + 0, 05) 3
= 11 576, 25 USD / 1, 157625
= 10 000 USD
W tym przypadku współczynnik dyskonta wynosi 1, 157625, co równa się 0, 8638376.
Rozpatrzenie „Reguły 72”
Tak zwana reguła 72 oblicza przybliżony czas, w którym inwestycja podwoi się przy danej stopie zwrotu lub oprocentowaniu „i”, i jest podana przez (72 / i). Można go używać tylko do rocznego mieszania.
Na przykład inwestycja, która ma roczną stopę zwrotu wynoszącą 6%, podwoi się za 12 lat.
Inwestycja o rocznej stopie zwrotu wynoszącej 8% podwoi się zatem za dziewięć lat.
Złożony roczny wskaźnik wzrostu (CAGR)
Złożoną roczną stopę wzrostu (CAGR) stosuje się w większości zastosowań finansowych, które wymagają obliczenia jednej stopy wzrostu w danym okresie.
Załóżmy, że Twój portfel inwestycyjny wzrósł z 10 000 USD do 16 000 USD w ciągu pięciu lat; co to jest CAGR? Zasadniczo oznacza to, że PV = - 10 000 USD, FV = 16 000 USD, nt = 5, więc należy obliczyć zmienną „i”. Za pomocą kalkulatora finansowego lub programu Excel można wykazać, że i = 9, 86%.
(Należy pamiętać, że zgodnie z konwencją dotyczącą przepływów pieniężnych, twoja początkowa inwestycja (PV) w wysokości 10 000 USD jest pokazana ze znakiem ujemnym, ponieważ reprezentuje wypływ środków. PV i FV muszą koniecznie mieć przeciwne znaki, aby rozwiązać „i” w powyższym równanie).
Aplikacje CAGR w prawdziwym życiu
CAGR jest szeroko stosowany do obliczania zwrotów w poszczególnych okresach dla akcji, funduszy wspólnego inwestowania i portfeli inwestycyjnych. CAGR służy również do ustalenia, czy zarządzający funduszem wspólnego inwestowania lub zarządzający portfelem przekroczył z czasem rynkową stopę zwrotu. Jeśli na przykład indeks rynkowy zapewnił łączne zwroty w wysokości 10% w okresie pięciu lat, ale zarządzający funduszem wygenerował jedynie roczne zwroty w wysokości 9% w tym samym okresie, zarządzający osiągnął gorsze wyniki na rynku.
CAGR można również wykorzystać do obliczenia oczekiwanej stopy wzrostu portfeli inwestycyjnych w długim okresie, co jest przydatne do takich celów, jak oszczędzanie na emeryturę. Rozważ następujące przykłady:
Przykład 1: Inwestor unikający ryzyka jest zadowolony ze skromnej rocznej stopy zwrotu z portfela wynoszącej 3%. Jej obecny portfel o wartości 100 000 USD zwiększy się do 180 611 USD po 20 latach. Natomiast tolerujący ryzyko inwestor, który spodziewa się rocznego zwrotu w wysokości 6% ze swojego portfela, po 20 latach wzrośnie do 100 000 USD do 320 714 USD.
Przykład 2: CAGR można wykorzystać do oszacowania, ile trzeba schować, aby zaoszczędzić na konkretny cel. Para, która chciałaby zaoszczędzić 50 000 USD w ciągu 10 lat na zaliczce na mieszkanie, musiałaby zaoszczędzić 4 165 USD rocznie, gdyby przyjęła roczny zwrot (CAGR) w wysokości 4% swoich oszczędności. Jeśli są gotowi podjąć dodatkowe ryzyko i oczekiwać CAGR w wysokości 5%, będą musieli zaoszczędzić 3975 USD rocznie.
Przykład 3: CAGR można również wykorzystać do wykazania zalet inwestowania wcześniej niż w późniejszym życiu. Jeśli celem jest zaoszczędzenie 1 mln USD na emeryturze w wieku 65 lat, przy CAGR wynoszącym 6%, 25-latek musiałby zaoszczędzić 6 462 USD rocznie, aby osiągnąć ten cel. Z drugiej strony 40-latek musiałby zaoszczędzić 18 227 USD, czyli prawie trzy razy tyle, aby osiągnąć ten sam cel.
- CAGR często pojawiają się również w danych ekonomicznych. Oto przykład: PKB na mieszkańca w Chinach wzrósł z 193 USD w 1980 r. Do 6091 USD w 2012 r. Jaki jest roczny wzrost PKB na mieszkańca w tym 32-letnim okresie? Tempo wzrostu „i” w tym przypadku osiąga imponujące 11, 4%.
Plusy i minusy mieszania
Podczas gdy magia łączenia doprowadziła do apokryficznej historii Alberta Einsteina, nazywając ją ósmym cudem świata lub największym wynalazkiem człowieka, łączenie może również działać przeciwko konsumentom, którzy mają kredyty o bardzo wysokim oprocentowaniu, takie jak zadłużenie na karcie kredytowej. Saldo karty kredytowej w wysokości 20 000 USD, oprocentowane według stawki wynoszącej 20% miesięcznie, spowodowałoby łączne odsetki złożone w wysokości 4 388 USD w ciągu roku lub około 365 USD miesięcznie.
Z drugiej strony magia łączenia może działać na twoją korzyść, jeśli chodzi o twoje inwestycje i może być silnym czynnikiem w tworzeniu bogactwa. Wzrost wykładniczy z rosnącego oprocentowania jest również ważny w łagodzeniu czynników niszczących bogactwo, takich jak wzrost kosztów utrzymania, inflacja i zmniejszenie siły nabywczej.
Fundusze wspólnego inwestowania oferują inwestorom jeden z najłatwiejszych sposobów czerpania korzyści z odsetek składanych. Decyzja o reinwestowaniu dywidend pochodzących z funduszu wspólnego inwestowania powoduje zakup większej liczby akcji funduszu. Z biegiem czasu narasta coraz więcej składanych odsetek, a cykl zakupu większej liczby akcji będzie nadal przyczyniał się do wzrostu wartości inwestycji w fundusz.
Rozważ zainwestowanie w fundusz wspólnego inwestowania z początkową kwotą 5000 USD i rocznym dodatkiem 2400 USD. Przy średniej rocznej stopie zwrotu wynoszącej 12% z 30 lat, przyszła wartość funduszu wynosi 798 500 USD. Odsetki złożone to różnica między środkami pieniężnymi wniesionymi na inwestycję a faktyczną przyszłą wartością inwestycji. W takim przypadku, przez wniesienie 77 000 USD lub łącznego wkładu w wysokości zaledwie 200 USD miesięcznie przez 30 lat, odsetki złożone wynoszą 721 500 USD przyszłego salda. Oczywiście dochody z odsetek składanych podlegają opodatkowaniu, chyba że pieniądze znajdują się na rachunku chronionym podatkiem; jest zwykle opodatkowany według standardowej stawki związanej z przedziałem podatkowym podatnika.
Inwestycje o złożonym oprocentowaniu
Inwestor, który decyduje się na plan reinwestycji na rachunku maklerskim, zasadniczo korzysta z możliwości łączenia wszystkiego, co inwestuje. Inwestorzy mogą również spotkać rosnące odsetki przy zakupie obligacji zerokuponowej. Tradycyjne emisje obligacji zapewniają inwestorom okresowe płatności odsetek na podstawie pierwotnych warunków emisji obligacji, a ponieważ są one wypłacane inwestorowi w formie czeku, odsetki się nie sumują. Obligacje zerokuponowe nie wysyłają kontroli odsetek do inwestorów; zamiast tego ten rodzaj obligacji jest nabywany z dyskontem do jego pierwotnej wartości i rośnie z czasem. Emitenci obligacji o zerowym kuponie wykorzystują siłę łączenia, aby zwiększyć wartość obligacji, tak aby osiągnęła pełną cenę w terminie wykupu.
Compounding może również działać dla Ciebie przy dokonywaniu spłat kredytu. Na przykład dokonanie połowy spłaty kredytu hipotecznego dwa razy w miesiącu zamiast pełnej płatności raz w miesiącu spowoduje skrócenie okresu amortyzacji i oszczędność znacznej kwoty odsetek. Mówiąc o pożyczkach…
Informowanie, czy odsetki są złożone
Ustawa o prawdzie w pożyczaniu (TILA) wymaga, aby pożyczkodawcy ujawnili warunki pożyczki potencjalnym pożyczkobiorcom, w tym całkowitą kwotę odsetek w dolarach, które mają zostać spłacone przez cały okres kredytowania, oraz to, czy odsetki są naliczane w prosty sposób, czy też powiększone.
Inną metodą jest porównanie stopy procentowej pożyczki z roczną stopą procentową (APR), którą TILA wymaga również od kredytodawców do ujawnienia. RRSO przekształca koszty finansowe pożyczki, które obejmują wszystkie odsetki i opłaty, na prostą stopę procentową. Zasadnicza różnica między stopą procentową a RRSO oznacza jeden lub oba z dwóch scenariuszy: Twoja pożyczka wykorzystuje odsetki złożone lub zawiera oprócz opłat odsetkowych wysokie opłaty za pożyczkę.