Zrozumienie modelu wyceny opcji dwumianowych

Uzgodnienie dokładnej wyceny każdego zbywalnego składnika aktywów jest trudne - dlatego ceny akcji stale się zmieniają. W rzeczywistości firmy prawie nie zmieniają swoich wycen na co dzień, ale ceny akcji i wyceny zmieniają się niemal co sekundę. Ta trudność w osiągnięciu konsensusu w sprawie prawidłowej wyceny dowolnego zbywalnego składnika aktywów prowadzi do krótkotrwałych możliwości arbitrażu.

Ale wiele udanych inwestycji sprowadza się do prostego pytania o dzisiejszą wycenę - jaka jest dzisiaj aktualna cena dla oczekiwanej przyszłej wypłaty?

Wycena opcji dwumianowych

Na konkurencyjnym rynku, aby uniknąć możliwości arbitrażu, aktywa o identycznej strukturze wypłat muszą mieć tę samą cenę. Wycena opcji była trudnym zadaniem, a zmiany cen prowadzą do możliwości arbitrażu. Black-Scholes pozostaje jednym z najpopularniejszych modeli używanych do wyceny opcji, ale ma ograniczenia.

Dwumianowy model wyceny opcji to kolejna popularna metoda stosowana do wyceny opcji.

Przykłady

Załóżmy, że istnieje opcja kupna określonego akcji o aktualnej cenie rynkowej 100 USD. Opcja at-the-money (ATM) ma cenę wykonania 100 USD z terminem wygaśnięcia jednego roku. Jest dwóch handlowców, Peter i Paula, którzy obaj zgadzają się, że cena akcji wzrośnie do 110 USD lub spadnie do 90 USD w ciągu jednego roku.

Zgadzają się co do oczekiwanych poziomów cen w danym okresie jednego roku, ale nie zgadzają się co do prawdopodobieństwa przesunięcia w górę lub w dół. Peter uważa, że ​​prawdopodobieństwo ceny akcji do 110 USD wynosi 60%, podczas gdy Paula uważa, że ​​40%.

Na tej podstawie, kto byłby skłonny zapłacić wyższą cenę za opcję kupna? Być może Peter, ponieważ spodziewa się wysokiego prawdopodobieństwa ruchu w górę.

Obliczenia opcji dwumianowych

Dwa aktywa, od których zależy wycena, to opcja kupna i akcje bazowe. Uczestnicy zgadzają się, że bazowa cena akcji może zmienić się z obecnych 100 USD na 110 USD lub 90 USD w ciągu jednego roku i nie są możliwe żadne inne zmiany cen.

W świecie wolnym od arbitrażu, jeśli musisz stworzyć portfel składający się z tych dwóch aktywów, opcji kupna i akcji bazowych, tak że niezależnie od tego, dokąd idzie cena bazowa - 110 USD lub 90 USD - zwrot netto z portfela zawsze pozostaje taki sam . Załóżmy, że kupujesz akcje „d” instrumentu bazowego i krótką opcję kupna, aby utworzyć ten portfel.

Jeśli cena wzrośnie do 110 USD, Twoje akcje będą warte 110 USD * d, a po wypłacie krótkiego połączenia stracisz 10 USD. Wartość netto twojego portfela wyniesie (110d - 10).

Jeśli cena spadnie do 90 USD, twoje akcje będą warte 90 USD * d, a opcja wygasa bezwartościowo. Wartość netto twojego portfela wyniesie (90d).

Jeśli chcesz, aby wartość Twojego portfela pozostała taka sama, niezależnie od tego, dokąd zmierza bazowa cena akcji, wówczas wartość Twojego portfela powinna pozostać taka sama w obu przypadkach:

h (d) −m = l (d) gdzie: h = najwyższy potencjalny wyceniony instrument bazowy = liczba bazowych udziałów m = pieniądze utracone z tytułu wypłaty krótkiej rozmowy = najniższa potencjalna cena bazowa \ zacznij {wyrównany} i h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & h = \ text {Najwyższa potencjalna cena bazowa} \\ & d = \ text {Liczba akcji bazowych} \\ & m = \ text {Stracone pieniądze przy wypłacie krótkoterminowej} \\ & l = \ text {Najniższa potencjalna cena bazowa} \\ \ end {wyrównany} h (d) −m = l (d) gdzie: h = Najwyższy potencjalny wyceniony instrument bazowy = Liczba bazowych akcji wypłata = najniższa potencjalna cena bazowa

Jeśli więc kupisz połowę udziału, zakładając, że możliwe są ułamkowe zakupy, uda ci się stworzyć portfel, aby jego wartość pozostała taka sama w obu możliwych stanach w danym okresie jednego roku.

110d − 10 = 90dd = 12 \ początek {wyrównany} i 110d - 10 = 90d \\ i d = \ frac {1} {2} \\ \ end {wyrównany} 110d − 10 = 90dd = 21

Ta wartość portfela, oznaczona jako (90d) lub (110d - 10) = 45, jest o rok niższa od linii. Aby obliczyć jego bieżącą wartość, można ją zdyskontować wolną od ryzyka stopą zwrotu (przy założeniu 5%).

Wartość bieżąca = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ początek {wyrównany} \ text {Wartość bieżąca} i = 90d \ razy e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Rok})} \\ & = 45 \ razy 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {wyrównany} Wartość bieżąca = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Ponieważ obecnie portfel składa się z ½ akcji bazowych (o cenie rynkowej 100 USD) i jednego krótkiego wezwania, powinien być równy wartości bieżącej.

12 × 100-1 × Cena za połączenie = 42, 85 USD Cena za połączenie = 7, 14 USD, tj. Cena za dzisiejszy \ początek {wyrównany} i \ frac {1} {2} \ times 100 - 1 \ times \ text {Cena połączenia} = \ 42, 85 $ \\ & \ text {Cena połączenia} = \ 7, 14 $ \ text {, czyli dzisiejsza cena połączenia} \\ \ end {wyrównane} 21 × 100-1 × Cena połączenia = 42, 85 USD Cena wywołania = 7, 14 USD, tj. dzisiejsza cena połączenia

Ponieważ opiera się to na założeniu, że wartość portfela pozostaje taka sama, niezależnie od tego, w którą stronę idzie cena bazowa, prawdopodobieństwo ruchu w górę lub w dół nie odgrywa żadnej roli. Portfel pozostaje wolny od ryzyka, niezależnie od zmian cen.

W obu przypadkach (zakładany wzrost w górę do 110 USD i spadek w dół do 90 USD), twój portfel jest neutralny dla ryzyka i osiąga wolną od ryzyka stopę zwrotu.

Dlatego zarówno inwestorzy, Peter, jak i Paula, byliby skłonni zapłacić tę samą 7, 14 USD za tę opcję kupna, pomimo odmiennego postrzegania prawdopodobieństwa ruchów w górę (60% i 40%). Ich indywidualnie postrzegane prawdopodobieństwa nie mają znaczenia przy wycenie opcji.

Zakładając zamiast tego, że indywidualne prawdopodobieństwa mają znaczenie, możliwości arbitrażu mogły się pojawić. W prawdziwym świecie takie możliwości arbitrażu istnieją przy niewielkich różnicach cen i znikają w krótkim okresie.

Ale gdzie jest bardzo zmienna zmienność we wszystkich tych obliczeniach, ważny i wrażliwy czynnik, który wpływa na wycenę opcji?

Zmienność jest już uwzględniona w naturze definicji problemu. Zakładając dwa (i tylko dwa - stąd „dwumianowe”) stany poziomów cen (110 i 90 USD), zmienność jest domyślna w tym założeniu i uwzględniana automatycznie (10% w obu przypadkach w tym przykładzie).

Black-Scholes

Ale czy to podejście jest prawidłowe i spójne z powszechnie stosowaną ceną Blacka-Scholesa? Wyniki kalkulatora opcji (dzięki uprzejmości OIC) są ściśle zgodne z obliczoną wartością:

Niestety, rzeczywisty świat nie jest tak prosty jak „tylko dwa państwa”. Zapas może osiągnąć kilka poziomów cen przed upływem terminu wygaśnięcia.

Czy możliwe jest uwzględnienie wszystkich tych wielu poziomów w dwumianowym modelu wyceny, który jest ograniczony tylko do dwóch poziomów ">

Prosta matematyka

Aby uogólnić ten problem i rozwiązanie:

„X” to bieżąca cena rynkowa akcji, a „X * u” i „X * d” to przyszłe ceny ruchów w górę i w dół „t” lata później. Współczynnik „u” będzie większy niż jeden, ponieważ wskazuje ruch w górę, a „d” będzie znajdować się między zero a jeden. W powyższym przykładzie u = 1, 1 id = 0, 9.

Wypłaty opcji kupna to „P w _górę ” i „P _dn ” dla ruchów w górę i w dół w momencie wygaśnięcia.

Jeśli zbudujesz portfel kupionych dziś akcji „s” i skrócisz jedną opcję kupna, to po pewnym czasie „t”:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Wartość portfela w przypadku ruchu w górę \ początek {wyrównany} i \ text {VUM} = s \ razy X \ razy u - P_ \ text {w górę} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Wartość portfela w przypadku przesunięcia w górę} \\ \ end {wyrównany} VUM = s × X × u-Pup gdzie: VUM = Wartość portfela w przypadku ruchu w górę

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Wartość portfela w przypadku przesunięcia w dół \ begin {wyrównany} i \ text {VDM} = s \ razy X \ razy d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Wartość portfela w przypadku przesunięcia w dół} \\ \ end {wyrównany} VDM = s × X × d − Pdown gdzie: VDM = Wartość portfela w przypadku spadku

Dla podobnej wyceny w obu przypadkach zmiany ceny:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Liczba akcji do zakupu = portfel wolny od ryzyka \ start {wyrównany} s & = \ frac {P_ \ text {góra} - P_ \ text {dół} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Liczba akcji do zakupu}} \\ & \ phantom {=} \ text {portfel bez ryzyka} \\ \ end {wyrównany} s = X × (u − d) Pup −Pdown = liczba akcji do zakupu = portfel wolny od ryzyka

Przyszła wartość portfela na koniec „t” lat będzie wynosić:

W przypadku ruchu w górę = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {wyrównany} \ text {W przypadku ruchu w górę} & = s \ razy X \ times u - P_ \ text {w górę} \\ & = \ frac {P_ \ text {w górę} - P_ \ text {w dół}} {u - d} \ times u - P_ \ text {w górę} \\ \ end {wyrównany} W przypadku W górę Przesuń = s × X × u Pup Pup = u − dPup −Pdown × u Pup

W przypadku ruchu w dół = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {wyrównany} \ text {W przypadku ruchu w dół} & = s \ razy X \ razy d - P_ \ text {w dół} \\ & = \ frac {P_ \ text {w górę} - P_ \ text {w dół}} {u - d} \ razy d - P_ \ text {w dół} \\ \ end {wyrównany} W przypadku Strzałka w dół = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Współczesną wartość można uzyskać poprzez zdyskontowanie jej ze stopą zwrotu wolną od ryzyka:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u Pup Pup] gdzie: PV = Obecny Valuer = Tempo powrotu = Czas, w latach \ początek {wyrównany} i \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { gdzie:} \\ & \ text {PV} = \ text {Wartość bieżąca} \\ & r = \ text {Stopa zwrotu} \\ & t = \ text {Czas w latach} \\ \ end {wyrównany} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] gdzie: PV = współczesny Valuer = wskaźnik powrotu = czas w latach

Powinno to pasować do portfela akcji „s” po cenie X, a wartość krótkiego wezwania „c” (obecna pozycja (s * X - c) powinna być równa temu obliczeniu). Rozwiązanie dla „c” w końcu daje tak jak:

Uwaga: jeśli premia za połączenie jest krótka, powinna być dodatkiem do portfela, a nie odejmowaniem.

c = e (-rt) u-d × [(e (-rt) -d) × Pup + (u-e (-rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {góra} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {dół}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown]

Innym sposobem napisania równania jest jego zmiana:

Przyjmowanie „q” jako:

q = e (−rt) du-dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Następnie równanie staje się:

c = e (-rt) × (q × Pup + (1-q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {w górę} + (1 - q) \ times P_ \ tekst {w dół}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Zmiana układu równania na „q” zaoferowała nową perspektywę.

Teraz możesz interpretować „q” jako prawdopodobieństwo przesunięcia w górę instrumentu bazowego (ponieważ „q” jest powiązane z P w _górę, a „1-q” jest powiązane z P _dn ). Ogólnie równanie to reprezentuje cenę opcji w dniu dzisiejszym, zdyskontowaną wartość jej wypłaty po wygaśnięciu.

To „Q” jest inne

Czym to prawdopodobieństwo „q” różni się od prawdopodobieństwa ruchu w górę lub w dół instrumentu bazowego „>

VSP = q × X × u + (1-q) × X × dwhere: VSP = Wartość ceny akcji w czasie t \ początek {wyrównany} i \ text {VSP} = q \ razy X \ razy u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Wartość ceny akcji w czasie} t \\ \ end {wyrównany} VSP = q × X × u + (1-q) × X × dwhere: VSP = Wartość ceny akcji w czasie t

Podstawiając wartość „q” i przestawiając, cena akcji w momencie „t” dochodzi do:

Cena akcji = e (rt) × X \ begin {wyrównany} i \ text {Cena akcji} = e (rt) \ razy X \\ \ end {wyrównany} Cena akcji = e (rt) × X

W tym zakładanym świecie dwóch stanów cena akcji po prostu rośnie o stopę zwrotu wolną od ryzyka, dokładnie jak aktywa wolne od ryzyka, a zatem pozostaje niezależna od jakiegokolwiek ryzyka. Inwestorzy są obojętni na ryzyko w ramach tego modelu, więc stanowi to model neutralny dla ryzyka.

Prawdopodobieństwo „q” i „(1-q)” jest znane jako prawdopodobieństwo neutralne dla ryzyka, a metoda wyceny znana jest jako model wyceny neutralny dla ryzyka.

Przykładowy scenariusz ma jeden ważny wymóg - przyszła struktura wypłat jest wymagana z precyzją (poziom 110 USD i 90 USD). W rzeczywistości taka jasność co do poziomów cen opartych na skokach nie jest możliwa; raczej cena zmienia się losowo i może osiąść na wielu poziomach.

Aby dalej rozwinąć przykład, załóż, że możliwe są dwuetapowe poziomy cen. Znamy końcowe wypłaty w drugim etapie i dzisiaj musimy ocenić opcję (na etapie początkowym):

Pracując wstecz, wyceny pośredniego pierwszego kroku (w t = 1) można dokonać, stosując końcowe wypłaty w drugim etapie (t = 2), a następnie stosując te obliczone wyceny w pierwszym etapie (t = 1), wycena w dniu dzisiejszym (t = 0) można osiągnąć za pomocą tych obliczeń.

Aby uzyskać wycenę opcji na drugim miejscu, stosuje się wypłaty na czwartym i piątym. Aby uzyskać cenę za numer trzy, stosuje się wypłaty w piątym i szóstym. Wreszcie, obliczone wypłaty w drugim i trzecim są wykorzystywane do ustalenia ceny na pierwszym miejscu.

Należy pamiętać, że ten przykład zakłada ten sam współczynnik dla ruchów w górę (i w dół) na obu etapach - u i d są stosowane w złożony sposób.

Przykład roboczy

Załóżmy, że opcja sprzedaży z ceną wykonania wynoszącą 110 USD jest obecnie wyceniana na 100 USD i wygasa za rok. Roczna stopa wolna od ryzyka wynosi 5%. Oczekuje się, że cena wzrośnie o 20% i spadnie o 15% co sześć miesięcy.

Tutaj u = 1, 2 id = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

przy użyciu powyższej pochodnej formuły

q = e (−rt) du-dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

otrzymujemy q = 0, 35802832

wartość opcji sprzedaży w punkcie 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) gdzie: p = cena opcji sprzedaży \ początek {wyrównany} i p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & p = \ text {Cena opcji sprzedaży} \\ \ end {wyrównany} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 q) Pupdn) gdzie: p = cena opcji sprzedaży

W _warunku P _{upup wartość} bazowa będzie wynosić = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, co prowadzi do P _upup = zero

W _warunku P _{zaktualizowania wartość} bazowa wyniesie = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, co prowadzi do P _{zaktualizowania} = 8 USD

W warunkach P _{dndn wartość} bazowa wyniesie = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, co prowadzi do P _dndn = _{37, 75} USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Podobnie, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

I stąd wartość opcji sprzedaży, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Podobnie modele dwumianowe pozwalają przełamać cały czas trwania opcji w celu dalszego udoskonalenia wielu kroków i poziomów. Korzystając z programów komputerowych lub arkuszy kalkulacyjnych, możesz cofać się krok po kroku, aby uzyskać bieżącą wartość żądanej opcji.

Inny przykład

Załóżmy opcję sprzedaży typu europejskiego z terminem wygaśnięcia dziewięciu miesięcy, cenę wykonania 12 USD i bieżącą cenę bazową 10 USD. Załóżmy, że stopa wolna od ryzyka wynosi 5% dla wszystkich okresów. Załóżmy, że co trzy miesiące cena bazowa może przesuwać się o 20% w górę lub w dół, dając nam u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 i trzystopniowe drzewo dwumianowe.

Kolor czerwony oznacza ceny bazowe, natomiast kolor niebieski oznacza wypłatę opcji sprzedaży.

Prawdopodobieństwo „q” neutralne dla ryzyka oblicza się na 0, 531446.

Stosując powyższą wartość „q” i wartości wypłaty przy t = dziewięć miesięcy, odpowiednie wartości przy t = sześć miesięcy oblicza się jako:

Ponadto, stosując te obliczone wartości przy t = 6, wartości przy t = 3, a następnie przy t = 0 to:

Daje to dzisiejszą wartość opcji sprzedaży na poziomie 2, 18 USD, co jest bardzo zbliżone do obliczeń wykonywanych przy użyciu modelu Blacka-Scholesa (2, 30 USD).

Dolna linia

Chociaż korzystanie z programów komputerowych może ułatwić te intensywne obliczenia, przewidywanie przyszłych cen pozostaje głównym ograniczeniem dwumianowych modeli wyceny opcji. Im krótsze przedziały czasowe, tym trudniej jest przewidzieć wypłaty na koniec każdego okresu z wysoką precyzją.

Jednak elastyczność w zakresie uwzględnienia oczekiwanych zmian w różnych okresach stanowi plus, co sprawia, że ​​nadaje się do wyceny opcji amerykańskich, w tym wycen z wcześniejszego wykonania.

Wartości obliczone przy użyciu modelu dwumianowego są ściśle zgodne z wartościami obliczonymi z innych powszechnie używanych modeli, takich jak Black-Scholes, co wskazuje na użyteczność i dokładność modeli dwumianowych do wyceny opcji. Dwumianowe modele wyceny mogą być opracowane zgodnie z preferencjami handlowca i mogą działać jako alternatywa dla Black-Scholesa.