Badanie wykładniczo ważonej średniej ruchomej
Zmienność jest najczęstszą miarą ryzyka, ale występuje w kilku odmianach. W poprzednim artykule pokazaliśmy, jak obliczyć prostą zmienność historyczną. W tym artykule poprawimy prostą zmienność i omówimy wykładniczo ważoną średnią ruchomą (EWMA).
Zmienność historyczna a implikowana
Najpierw umieśćmy tę metrykę w nieco innej perspektywie. Istnieją dwa ogólne podejścia: zmienność historyczna i domniemana (lub domniemana). Podejście historyczne zakłada, że przeszłość jest prologiem; mierzymy historię w nadziei, że jest przewidywalna. Z drugiej strony implikowana zmienność ignoruje historię; rozwiązuje problem zmienności wynikającej z cen rynkowych. Ma nadzieję, że rynek wie najlepiej i że cena rynkowa zawiera, choć w sposób dorozumiany, konsensusowy szacunek zmienności.
Jeśli skupimy się tylko na trzech podejściach historycznych (po lewej powyżej), mają one dwa wspólne kroki:
- Oblicz serię okresowych zwrotów
- Zastosuj schemat ważenia
Najpierw obliczamy okresowy zwrot. Zazwyczaj jest to seria dziennych zwrotów, przy czym każdy zwrot jest wyrażany w sposób ciągły. Na każdy dzień bierzemy naturalny dziennik stosunku cen akcji (tj. Dzisiejszej ceny podzielonej przez cenę wczoraj i tak dalej).
ui = lnsisi − 1 gdzie: ui = zwrot w dniu isi = cena akcji w dniu isi − 1 = cena akcji w przeddzień dnia \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & u_i = \ text {powrót w dniu} i \\ & s_i = \ text {cena akcji w dniu} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {cena akcji w dniu przed dniem} i \\ \ end {wyrównany} ui = lnsi − 1 si gdzie: ui = zwrot w dniu isi = cena akcji w dniu isi − 1 = cena akcji w przeddzień dnia i W pobliżu
Daje to serię dziennych zwrotów, od u do u im, w zależności od tego, ile dni (m = dni) mierzymy.
To prowadzi nas do drugiego kroku: tutaj różnią się trzy podejścia. W poprzednim artykule pokazaliśmy, że przy kilku akceptowalnych uproszczeniach prosta wariancja jest średnią z kwadratowych zwrotów:
variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 gdzie: m = liczba zmierzonych dni n = dayiu = różnica zwrotu ze średniego zwrotu \ begin {wyrównany} i \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & m = \ text {liczba zmierzonych dni} \\ & n = \ text {dzień} i \\ & u = \ text {różnica zwrotu ze średniego zwrotu} \\ \ end {wyrównane} wariancja = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 gdzie: m = liczba dni zmierzonychn = dayiu = różnica zwrotu ze średniego zwrotu
Zauważ, że sumuje to każdy okresowy zwrot, a następnie dzieli tę sumę przez liczbę dni lub obserwacji (m). Tak więc to naprawdę tylko średnia z kwadratowych okresowych zwrotów. Innymi słowy, każdy kwadratowy powrót ma taką samą wagę. Jeśli więc alfa (a) jest współczynnikiem wagowym (a konkretnie a = 1 / m), to prosta wariancja wygląda mniej więcej tak:
EWMA poprawia prostą wariancję
Słabością tego podejścia jest to, że wszystkie zwroty mają taką samą wagę. Wczorajszy (bardzo niedawny) zwrot nie ma większego wpływu na wariancję niż zwrot z ubiegłego miesiąca. Problem ten został rozwiązany za pomocą wykładniczo ważonej średniej ruchomej (EWMA), w której nowsze zwroty mają większy wpływ na wariancję.
Wykładnicza średnia ruchoma (EWMA) wprowadza lambda, który nazywa się parametrem wygładzania. Lambda musi być mniejsza niż jeden. W tych warunkach, zamiast równych wag, każdy zwrot z kwadratu jest ważony przez mnożnik w następujący sposób:
Na przykład RiskMetrics TM , firma zarządzająca ryzykiem finansowym, zwykle stosuje lambda 0, 94, czyli 94%. W takim przypadku pierwszy (ostatni) kwadratowy okresowy zwrot jest ważony przez (1-0, 94) (. 94) 0 = 6%. Następny kwadratowy powrót to po prostu wielokrotność lambda poprzedniej wagi; w tym przypadku 6% pomnożone przez 94% = 5, 64%. A waga trzeciego dnia poprzedniego wynosi (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Takie jest znaczenie „wykładniczego” w EWMA: każda waga jest stałym mnożnikiem (tj. Lambda, który musi być mniejszy niż jeden) w stosunku do wagi z dnia poprzedniego. Zapewnia to wariancję ważoną lub tendencyjną w stosunku do nowszych danych. Różnica między zwykłą zmiennością a EWMA dla Google została pokazana poniżej.
Prosta zmienność skutecznie waży każdy okresowy zwrot o 0, 196%, jak pokazano w kolumnie O (mieliśmy dwa lata dziennych danych o cenach akcji. To jest 509 dziennych zwrotów i 1/509 = 0, 196%). Ale zauważ, że kolumna P przypisuje wagę 6%, następnie 5, 64%, a następnie 5, 3% i tak dalej. To jedyna różnica między prostą wariancją a EWMA.
Pamiętaj: po zsumowaniu całej serii (w kolumnie Q) mamy wariancję, która jest kwadratem odchylenia standardowego. Jeśli chcemy zmienności, musimy pamiętać o pierwiastku kwadratowym z tej wariancji.
Jaka jest różnica w dziennej zmienności między wariancją a EWMA w przypadku Google „>
Dzisiejsza wariancja jest funkcją wariancji z dnia poprzedniego
Zauważysz, że musimy obliczyć długą serię wykładniczo malejących wag. Nie zrobimy tutaj matematyki, ale jedną z najlepszych cech EWMA jest to, że cała seria wygodnie redukuje się do rekurencyjnej formuły:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 λ) un − 12 gdzie: λ = stopień zmniejszenia wagiσ2 = wartość w przedziale czasu nu2 = wartość EWMA w przedziale czasu n \ początek {wyrównany} i \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & \ lambda = \ text {stopień zmniejszenia wagi} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {wartość w przedziale czasu} n \\ & u ^ 2 = \ text {wartość EWMA w przedziale czasu} n \\ \ end {wyrównany} σn2 (ewma) = λσn2 + (1-λ) un-12 gdzie: λ = stopień zmniejszenia wagiσ2 = wartość w przedziale czasu nu2 = wartość EWMA w przedziale czasu n
Rekurencyjne oznacza, że dzisiejsze odniesienia do wariancji (tj. Są funkcją wariancji z dnia poprzedniego). Możesz znaleźć tę formułę również w arkuszu kalkulacyjnym, który daje dokładnie ten sam wynik, co obliczenia z ręki! Mówi: dzisiejsza wariancja (zgodnie z EWMA) równa się wczorajszej wariancji (ważonej lambda) plus wczorajszy kwadratowy powrót (ważony o jeden minus lambda). Zauważ, jak dodajemy dwa terminy razem: wczorajszą ważoną wariancję i wczorajszą ważoną kwadratową stopę zwrotu.
Mimo to lambda jest naszym parametrem wygładzania. Wyższa lambda (np. 94% RiskMetric) wskazuje na wolniejsze rozpadanie się w szeregu - w ujęciu względnym będziemy mieli więcej punktów danych w szeregu i będą one „opadać” wolniej. Z drugiej strony, jeśli zmniejszymy lambda, wskażemy większy rozpad: ciężary spadają szybciej i, w wyniku szybkiego rozpadu, wykorzystuje się mniej punktów danych. (W arkuszu kalkulacyjnym lambda to dane wejściowe, więc możesz eksperymentować z jego czułością).
Podsumowanie
Zmienność to chwilowe odchylenie standardowe akcji i najczęstsza miara ryzyka. Jest to również pierwiastek kwadratowy wariancji. Możemy mierzyć wariancję historycznie lub pośrednio (implikowana zmienność). Przy pomiarze historycznym najłatwiejszą metodą jest prosta wariancja. Ale słabość z prostą wariancją polega na tym, że wszystkie zwroty mają taką samą wagę. Mamy zatem do czynienia z klasycznym kompromisem: zawsze chcemy więcej danych, ale im więcej danych mamy, tym bardziej nasze obliczenia są rozrzedzane przez odległe (mniej istotne) dane. Wykładnicza średnia ruchoma (EWMA) poprawia się na prostej wariancji, przypisując wagi do okresowych zwrotów. W ten sposób możemy zarówno użyć dużej wielkości próbki, jak i przypisać większą wagę najnowszym zwrotom.