Zrozumienie wartości pieniądza w czasie

Gratulacje!!! Wygrałeś nagrodę pieniężną! Masz dwie opcje płatności: A: Odbierz 10 000 $ teraz lub B: Odbierz 10 000 $ za trzy lata. Którą opcję byś wybrał?

Jaka jest wartość pieniądza w czasie?

Jeśli jesteś podobny do większości ludzi, wolisz teraz otrzymać 10 000 $. W końcu trzy lata to długo czekać. Dlaczego jakakolwiek racjonalna osoba miałaby odkładać wypłatę na przyszłość, skoro mogłaby teraz mieć taką samą kwotę pieniędzy? Dla większości z nas przyjmowanie pieniędzy w teraźniejszości jest po prostu instynktowne. Na najbardziej podstawowym poziomie wartość pieniądza w czasie pokazuje, że wszystkie rzeczy są równe, wydaje się, że lepiej mieć pieniądze teraz niż później.

Ale dlaczego to jest? Rachunek za 100 USD ma taką samą wartość jak rachunek za 100 USD za rok, prawda? W rzeczywistości, mimo że rachunek jest taki sam, możesz zrobić znacznie więcej z pieniędzmi, jeśli masz je teraz, ponieważ z czasem możesz zarobić więcej odsetek na swoich pieniądzach.

Wracając do naszego przykładu: otrzymując dzisiaj 10 000 USD, jesteś w stanie zwiększyć przyszłą wartość swoich pieniędzy, inwestując i zyskując odsetki w pewnym okresie czasu. W przypadku Opcji B nie masz czasu po swojej stronie, a płatność otrzymana w ciągu trzech lat będzie twoją przyszłą wartością. Aby to zilustrować, przedstawiliśmy oś czasu:

Jeśli wybierzesz opcję A, twoja przyszła wartość wyniesie 10 000 USD plus wszelkie odsetki nabyte w ciągu trzech lat. Z drugiej strony przyszła wartość opcji B wynosiłaby jedynie 10 000 USD. Jak więc dokładnie obliczyć, ile jest warta Opcja A, w porównaniu z Opcją B? Spójrzmy.

Podstawy przyszłej wartości

Jeśli wybierzesz opcję A i zainwestujesz całkowitą kwotę według prostej rocznej stopy wynoszącej 4, 5%, przyszła wartość Twojej inwestycji na koniec pierwszego roku wyniesie 10 450 USD. Dochodzimy do tej sumy, mnożąc kwotę główną 10 000 USD przez stopę procentową 4, 5%, a następnie dodając uzyskane odsetki do kwoty głównej:

10 000 USD × 0, 045 = 450 USD \ początek {wyrównany} i \ 10 000 USD \ razy 0, 045 = \ 450 \\ \ end {wyrównany} 10 000 USD × 0, 045 = 450 USD

450 USD + 10 000 USD = 10 450 USD \ początek {wyrównany} i \ 450 + + 10 000 USD = \ 10 450 USD \\ \ end {wyrównany} 450 USD + 10 000 USD = 10 450 USD

Możesz również obliczyć całkowitą kwotę rocznej inwestycji za pomocą prostej manipulacji powyższym równaniem:

OE = (10 000 $ 0, 045) + 10 000 USD = 10 450 USD gdzie: OE = Oryginalne równanie \ zacznij {wyrównany} i \ text {OE} = (\ 10 000 $ \ razy 0, 045) + \ 10 000 = \ 10, 450 $ \\ & \ textbf {gdzie :} \\ & \ text {OE} = \ text {Oryginalne równanie} \\ \ end {wyrównane} OE = (10 000 × 0, 045) + 10 000 = 10 450 USD gdzie: OE = Oryginalne równanie

Manipulacja = 10 000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $ \ początek {wyrównany} i \ text {Manipulacja} = \ 10 000 $ \ razy [(1 \ razy 0, 045) + 1] = \ 10 450 $ \\ \ end { wyrównane} Manipulacja = 10 000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $

Końcowe równanie = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10 450 $ \ początek {wyrównany} i \ text {Końcowe równanie} = \ 10 000 $ razy (0, 045 + 1) = \ 10, 450 \\ \ end {wyrównany} Ostateczne równanie = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10 450 USD

Powyższe zmanipulowane równanie to po prostu usunięcie zmiennej o wartości 10 000 USD (kwoty głównej) poprzez podzielenie całego pierwotnego równania przez 10 000 USD.

Jeśli 10 450 USD pozostających na twoim koncie inwestycyjnym na koniec pierwszego roku pozostanie nietknięte, a zainwestujesz je w 4, 5% na kolejny rok, ile byś miał? Aby to obliczyć, wziąłbyś 10 450 USD i pomnożono go ponownie przez 1, 045 (0, 045 +1). Pod koniec dwóch lat będziesz mieć 10 920, 25 USD.

Obliczanie przyszłej wartości

Powyższe obliczenie jest zatem równoważne z następującym równaniem:

Przyszła wartość = 10 000 USD × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ początek {wyrównany} i \ text {Przyszła wartość} = \ 10 000 $ razy (1 + 0, 045) \ razy (1 + 0, 045) \\ \ koniec {wyrównane} Przyszła wartość = 10000 USD × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Wróćmy do klasy matematycznej i reguły wykładników, która mówi, że mnożenie podobnych terminów jest równoważne dodawaniu ich wykładników. W powyższym równaniu dwa podobne wyrażenia to (1+ 0, 045), a wykładnik każdego z nich jest równy 1. Dlatego równanie można przedstawić następująco:

Przyszła wartość = 10 000 USD × (1 + 0, 045) 2 \ początek {wyrównany} i \ text {Przyszła wartość} = \ 10 000 USD \ razy (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {wyrównany} Przyszła wartość = 10 000 USD × ( 1 + 0, 045) 2

Widzimy, że wykładnik jest równy liczbie lat, przez które pieniądze zarabiają na inwestycji. Tak więc równanie do obliczenia trzyletniej przyszłej wartości inwestycji wyglądałoby następująco:

Przyszła wartość = 10 000 USD × (1 + 0, 045) 3 \ początek {wyrównany} i \ text {Przyszła wartość} = \ 10 000 USD \ razy (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {wyrównany} Przyszła wartość = 10 000 USD × ( 1 + 0, 045) 3

Jednak nie musimy dalej obliczać przyszłej wartości po pierwszym roku, potem drugim, a potem trzecim i tak dalej. Można to wszystko powiedzieć naraz, że tak powiem. Jeśli znasz obecną kwotę pieniędzy, którą posiadasz na inwestycji, jej stopę zwrotu i liczbę lat, w których chcesz utrzymać tę inwestycję, możesz obliczyć przyszłą wartość (FV) tej kwoty. Dokonuje się tego za pomocą równania:

FV = PV × (1 + i) gdzie indziej: FV = Przyszła wartość PV = Wartość bieżąca (pierwotna kwota pieniędzy) i = Stopa procentowa za okres n = Liczba okresów \ początek {wyrównany} i \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {gdzie:} \\ & \ text {FV} = \ text {Przyszła wartość} \\ & \ text {PV} = \ text {Wartość bieżąca ( oryginalna kwota)} \\ & i = \ text {Oprocentowanie za okres} \\ & n = \ text {Liczba okresów} \\ \ end {wyrównany} FV = PV × (1 + i) gdzie indziej: FV = Przyszła wartość PV = wartość bieżąca (pierwotna kwota pieniężna) i = stopa procentowa na okres n = liczba okresów

Podstawy wartości bieżącej

Gdybyś dzisiaj otrzymał 10 000 $, jego wartość bieżąca wynosiłaby oczywiście 10 000 $, ponieważ wartość bieżąca jest tym, co daje ci teraz inwestycja, gdybyś ją dzisiaj wydał. Gdybyś miał otrzymać 10 000 $ w ciągu jednego roku, wartość bieżąca tej kwoty nie wyniósłaby 10 000 $, ponieważ nie masz jej teraz w ręku, w chwili obecnej.

Aby znaleźć bieżącą wartość 10 000 USD, którą otrzymasz w przyszłości, musisz udawać, że 10 000 USD to całkowita wartość w przyszłości kwoty, którą dziś zainwestowałeś. Innymi słowy, aby znaleźć aktualną wartość przyszłych 10 000 USD, musimy dowiedzieć się, ile musielibyśmy dziś zainwestować, aby otrzymać te 10 000 USD w ciągu jednego roku.

Aby obliczyć wartość bieżącą lub kwotę, którą musielibyśmy dziś zainwestować, należy odjąć (hipotetyczne) skumulowane odsetki od kwoty 10 000 USD. Aby to osiągnąć, możemy zdyskontować przyszłą kwotę płatności (10 000 USD) według stopy procentowej za dany okres. Zasadniczo wszystko, co robisz, to przestawienie powyższego równania przyszłej wartości, aby rozwiązać problem wartości bieżącej (PV). Powyższe równanie przyszłej wartości można zapisać w następujący sposób:

PV = FV (1 + i) n \ begin {wyrównany} i \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {wyrównany} PV = (1 + i) nFV

Alternatywne równanie byłoby:

PV = FV × (1 + i) - gdzie: PV = wartość bieżąca (pierwotna kwota pieniędzy) FV = wartość w przyszłości i = stopa procentowa na okres n = liczba okresów \ początek {wyrównany} i \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {PV} = \ text {Obecna wartość (pierwotna kwota pieniędzy)} \\ & \ text {FV} = \ text {Przyszła wartość} \\ & i = \ text {Oprocentowanie za okres} \\ & n = \ text {Liczba okresów} \\ \ end {wyrównany} PV = FV × (1 + i) −gdzie: PV = wartość bieżąca (pierwotna kwota pieniądza) FV = wartość w przyszłości i = stopa procentowa za okres n = liczba okresów

Obliczanie wartości bieżącej

Cofnijmy się od 10.000 $ oferowanych w Opcji B. Pamiętaj, że 10.000 $, które otrzymasz w ciągu trzech lat, jest naprawdę takie samo, jak przyszła wartość inwestycji. Gdybyśmy mieli jeszcze rok, zanim otrzymamy pieniądze, pomniejszymy wypłatę o jeden rok. Stosując naszą formułę wartości bieżącej (wersja 2), przy obecnym dwuletnim okresie, bieżąca wartość 10 000 USD, która zostanie otrzymana w ciągu jednego roku, wyniosłaby 10 000 USD x (1 + .045) ^-1 = 9569.38 USD.

Należy pamiętać, że gdybyśmy dzisiaj osiągnęli roczny poziom, powyższa kwota 9 569, 38 USD byłaby uważana za przyszłą wartość naszej inwestycji za rok.

Kontynuując, pod koniec pierwszego roku spodziewalibyśmy się płatności w wysokości 10 000 USD za dwa lata. Przy stopie procentowej wynoszącej 4, 5% obliczenie wartości bieżącej 10 000 USD spodziewanej za dwa lata wyniesie 10 000 USD x (1 + .045) ^-2 = 9157, 30 USD.

Oczywiście, ze względu na zasadę wykładników, nie musimy obliczać przyszłej wartości inwestycji każdego roku, odliczając od 10 000 USD inwestycji w trzecim roku. Możemy ułożyć to równanie w bardziej zwięzły sposób i użyć 10 000 USD jako FV. Oto, w jaki sposób możesz obliczyć dzisiejszą wartość bieżącą 10 000 USD oczekiwaną z trzyletnich inwestycji zarabiających 4, 5%:

8 762, 97 $ = 10 000 $ × (1 + .045) −3 \ begin {wyrównany} i \ 8 762, 97 $ = \ 10 000 $ \ razy (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {wyrównany} 8 762, 97 $ = 10 000 $ × ( 1 + .045) −3

Zatem obecna wartość przyszłej płatności w wysokości 10 000 USD jest dziś warta 8 762, 97 USD, jeśli stopy procentowe wynoszą 4, 5% rocznie. Innymi słowy, wybór opcji B jest jak zabranie teraz 8 762, 97 USD, a następnie zainwestowanie jej przez trzy lata. Powyższe równania pokazują, że Opcja A jest lepsza nie tylko dlatego, że oferuje ci teraz pieniądze, ale ponieważ oferuje Ci 1 237, 03 USD (10 000 - 8 762, 97 USD) w gotówce! Ponadto, jeśli zainwestujesz 10 000 USD, które otrzymasz z Opcji A, twój wybór da Ci przyszłą wartość, która jest o 411, 66 USD (11 411, 66 USD - 10 000 USD) większa niż przyszła wartość Opcji B.

Wartość bieżąca przyszłej płatności

Dodajmy ante z naszej oferty. Co się stanie, jeśli przyszła płatność będzie wyższa niż kwota, którą otrzymasz od razu? Załóżmy, że możesz otrzymać 15 000 USD dzisiaj lub 18 000 USD w ciągu czterech lat. Decyzja jest teraz trudniejsza. Jeśli zdecydujesz się na otrzymanie 15 000 USD dzisiaj i zainwestowanie całej kwoty, w rzeczywistości może się okazać, że kwota gotówki w ciągu czterech lat będzie mniejsza niż 18 000 USD.

Jak zdecydować? Przyszła wartość może wynosić 15 000 USD, ale ponieważ zawsze żyjemy w teraźniejszości, znajdźmy obecną wartość 18 000 USD. Tym razem założymy, że stopy procentowe wynoszą obecnie 4%. Pamiętaj, że równanie wartości bieżącej jest następujące:

PV = FV × (1 + i) −n \ begin {wyrównany} i \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {wyrównany} PV = FV × (1 + i) −n

W powyższym równaniu wszystko, co robimy, to dyskontowanie przyszłej wartości inwestycji. Używając powyższych liczb, wartość bieżąca płatności w wysokości 18 000 USD w ciągu czterech lat zostanie obliczona jako 18 000 USD x (1 + 0, 04) ^-4 = 6, 46 USD.

Z powyższych obliczeń wiemy, że naszym dzisiejszym wyborem jest wybór między 15 000 USD a 156, 68 USD. Oczywiście powinniśmy przełożyć płatność na cztery lata!

Dolna linia

Te obliczenia pokazują, że czas dosłownie jest pieniądzem - wartość pieniędzy, które teraz posiadasz, nie jest taka sama, jak będzie w przyszłości i odwrotnie. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, jak obliczyć wartość pieniądza w czasie, aby można było odróżnić wartość inwestycji, które oferują zwrot w różnych momentach. (W celu zapoznania się z tym tematem zobacz „Wartość pieniądza i dolara w czasie”)